BridgeMD

Vous connaissiez ou vous avez lu l'article sur les probabilités des différentes répartitions "a priori", c'est-à-dire lorsque vous n'avez aucune information sur les mains des adversaires.

Vous y avez vu un semblant de probabilités "a posteriori", lorsque vous connaissez un certain nombre de cartes dans d'autres couleurs, qui viennent un peu modifier les formules et donc les résultats.

Vous allez a-do-rer les vraies probabilités a posteriori, lorsque vous avez déjà une partie de l'information sur la couleur qui vous intéresse, typiquement en ayant déjà joué un tour ou un tour et demi (2 ou 3 cartes vues chez les adversaires).

C'est une situation fréquente, et difficile, source de multiples pièges dans le calcul des probabilités. Comme dans la jungle, de multiples dangers vous guettent. Il faut le savoir pour survivre.

Ceci ne concerne pas que les maniements de couleur, mais les enchères "s'il me dit ça, il peut avoir ... ou ..., donc ..." et bien sûr l'ensemble du jeu de la carte : "il n'a pas entamé ... donc ...", "elle est repartie du 4, donc ..." ces autres exemples d'application ne seront pas traités ici.

Les probabilités a posteriori

Il s'agit d'inverser les choses et d'estimer non pas les probabilités des effets, mais celles des causes connaissant les effets. Différents cas avec des probabilités a priori peuvent conduire aux données recueillies. On cherche à savoir dans quel cas on se trouve, soit de façon exacte si l'on arrive à refaire parfaitement les mains, soit de façon probabiliste pour éventuellement infléchir sa ligne de jeu.

C'est ce que font Sherlock, Poirot, ce bon vieux Derrick, ou les Experts : les probabilités initiales (suspect idéal) décroissent au long de l'enquête, et le filet se resserre sur le vrai coupable au fur et à mesure de l'analyse des indices, des interrogatoires... Parfois il y a de faux indices, voire de faux aveux... au bridge, les fausses cartes.

Si vous vous intéressez aux aspects théoriques, cherchez sur Internet, par exemple "théorème de Bayes". On va essayer de vous le faire sans formules.

Un exemple non bridgesque

Mon voisin a deux enfants. Vous lui demandez : "Avez-vous au moins un garçon ?" Il vous répond "oui". Pensez-vous que ce garçon a une soeur, ou bien un frère ?

Beaucoup répondront : "question idiote, on ne peut pas savoir", ou plus poliment "une chance sur deux, évidemment !". Ils auront tort. La bonne réponse est "probablement une fille, à deux chances sur trois".

Il n'y a pas de piège, ni d'astuce démographique. Démonstration : les deux enfants peuvent être GF (aîné garçon, suivi d'une fille), ou FG, ou GG, mais pas FF car sinon la réponse aurait été "non". Ces 4 cas qui étaient à 25% chacun passent à 33% a posteriori parmi les 3 cas résiduels. Vous pouvez constater qu'il n'y a qu'un seul cas avec deux frères, et deux cas frère-soeur.

Si l'énoncé avait été "son plus jeune enfant est..." alors la réponse aurait bien sûr été 50%.

Variante : Mon voisin a deux enfants. Vous lui demandez : "Dites m'en un peu plus...". Il vous répond "j'ai au moins un garçon". Pensez-vous que ce garçon a une soeur, ou bien un frère ?

Vous pensez que c'est pareil parce que vous avez finalement la même information "au moins un garçon" ? Eh bien non, car dans la variante, votre voisin, dans les cas GF et FG, aurait très bien pu préférer vous dire "j'ai au moins une fille". Sa réponse élimine toujours le cas FF mais il faut faire intervenir la probabilité 50% qu'il choisisse de vous donner un des deux indices plutôt que l'autre. La proba du cas GF ou FG est divisée par 2 et devient donc égale à celle de GG (où là il n'a pas le choix, sauf de vous dire qu'il a deux garçons mais ce serait trop facile) et en fait vous n'avez aucune raison de choisir, cet indice ne vous apporte rien pour choisir entre "vous avez deux garçons" et "vous avez un garçon et une fille".

PS : j'avais en mars 2010 donné un autre exemple, qui était faux et m'a été signalé comme tel en octobre 2017 par un visiteur. Il y en a qui suivent.

Un exemple bridgesque

Vous devez faire le maximum de levées avec en Sud   V 10 9 8 en face de A 7 6 5. Evidemment vous faites l'impasse : V, petit, petit, et la dame (ou le roi) prend. Vous savez qu'il faut recommencer l'impasse. Quelle est la probabilité que la seconde impasse réussisse ?

Bien sûr c'est environ 2/3, et pas 1/2... C'est exactement le même exemple, remplacez par "un garçon" par "un gros honneur mal placé". Et "une fille" par "un gros honneur placé avant l'as".

Le mauvais raisonnement : "je ne suis pas d'accord, c'est la dame a pris le valet, et le roi a évidemment autant de chances d'être à gauche qu'à droite". Il n'est pas si simple de le réfuter. Voilà deux manières :
- raisonner comme pour les enfants du voisin en "gros honneurs" plutôt qu'en "dame" et "roi", il faut banaliser ces cartes ;
- faire appel au savant principe de cartes équivalentes, ou de "moindre choix" : le joueur qui n'a qu'un des gros honneurs le mettra forcément, celui qui a le mariage va mettre indifféremment l'une ou l'autre carte. Les deux cas -RD et R-D sont effectivement aussi probables (à très peu de % près). Mais si vous avez vu la dame en Est, vous récupérez toute la probabilité du cas R-D mais seulement la moitié de celle de -RD (car dans l'autre moitié c'est le roi qui aurait pris).

Pas facile. La première approche est plus simple. La seconde paraît fausse mais elle est juste. Elle peut entraîner des débats "qu'est-ce qui me prouve que le joueur va mettre exactement une fois sur deux la dame, ou le roi ?...". On y reviendra.

Pourquoi jouer la dame seconde quand on a 9 cartes ?

On sait qu'avec 9 cartes (et sans information supplémentaire sur la distribution chez les adversaires), la répartition 3-1 est à environ 50%, donc plus fréquente que le 2-2 qui n'est qu'à 40%, le reste étant le 4-0. Et pourtant, à 9 cartes on joue "en tête". N'est-ce pas contradictoire ?

Non bien sûr. Explication par les probabilités a priori

• Le jeu "en tête" gagne dans les 40% de cas de répartition 2-2 mais aussi dans les cas de dame sèche (1/4 de 50% car le singleton a une chance d'être la dame et 3/4 d'être l'une des trois autres cartes), donc environ 52,5% (chiffre exact 53,1%, les 50% et 40% sont arrondis)
• L'impasse après un coup de sonde va gagner contre la dame bien placée (50%) plus contre la dame singleton mal placée (1/8 de 50%) = 56,2%. C'est le contraire que l'on voulait démontrer... Oops...

C'est parce qu'il manque un cas : lors du coup de sonde, on voit une chicane et donc une dame quatrième qui une fois sur deux sera bien placée par rapport à notre gros honneur restant (4,8%). On fera alors l'impasse. Ceci refait basculer la probabilité en faveur du jeu en tête plus cette exception, qui est de 57,9%, pas beaucoup plus que 56,2%, mais un peu plus. Tout rentre dans l'ordre.

Explication par les probabilités a posteriori

Si la dame ou une chicane apparaît au premier tour, il n'y a plus de problème, en tout cas plus de problème de calcul. Idem si la dame est seconde et bien placée. Le seul cas "intéressant" est celui où vous avez vu tomber trois petites cartes et vous devez choisir entre mettre l'as ou pas.

C'est un cas très simple de probabilités a posteriori, où il suffit de lister, parmi les cas possibles au départ, lesquels sont encore possibles, puis de comparer leurs probabilités. Aucun piège ici.

Les deux cas restants sont disons 43-(D)2 et (D)43-2, peu importe les petites cartes. Les 100% de probabilités a priori se réduisent donc a posteriori à respectivement un cas de doubleton (6,78%) et un cas de singleton (6,22%), total 13%. Dans tous les cas "à problème" où vous aurez à choisir, la dame sera seconde dans 6,78 / 13 = 52,17% des cas et il est mieux joué de mettre l'as que de faire l'impasse qui réussira seulement dans 47,83% des cas. C'est le classique 52-48 du principe des cases vacantes, résultat un peu modifié ici car on a joué un tour de plus, donc 12/23 = 52,17 au lieu de 13/25 = 52. L'écart se creuserait si des cartes étaient connues, de manière symétrique chez les adversaires, dans d'autres couleurs.

Et s'il manque DV quand on a 9 cartes ?

Ceci est dans le cas où vous n'êtes pas concerné par le jeu de sécurité pour assurer 4 levées, mais vous devez en faire 5, avec K 10 9 8 / A 7 6 5 4. Donc vous jouez disons le roi en coup de sonde (ou l'as ce serait équivalent).

Si les deux petites cartes tombent, vous n'avez d'autre solution que de jouer l'as en espérant la répartition.

Mais si la dame ou le valet tombe lors du coup de sonde, cet honneur était sec ou issu du petit mariage (sauf lâcher de carte, ou psychic sans intérêt, voire stupide).

Et c'est une nouvelle application du paradoxe des enfants du voisin : l'autre honneur a 2/3 de chances d'être en face. Si "en face" correspond au côté où vous pouvez faire l'impasse, il faut la faire ! Et là ce n'est pas du 52-48%, c'est du 67-33% environ.

Objection (rejetée) : "mais les cartes que j'ai vraiment vues sont 32-D, qui ne peut venir que de 32-D(V) ou de (V)32-D. C'est toujours un cas de doubleton et un cas de singleton". Pourquoi est-ce faux ?

Parce qu'il ne faut pas se contenter de compter les cas restants, mais dans certains cas les "pondérer" en se disant "avec cela, qu'est-ce que l'adversaire aurait mis ?". Il y a possibilité de piège, dès que :
- ils ont des grosses cartes équivalentes qu'ils mettent au hasard (dans ce cas, diviser par deux voire par trois la probabilité a priori), et/ou
- ils ont des intermédiaires qui peuvent parfois être des "fausses cartes". Vous en aurez un exemple, pas très facile, où les deux phénomènes se combinent.

Modélisez votre adversaire...

Dans l'exemple avec DV32 manquant et où vous voyez le V, tout le calcul est basé sur le principe des 50% de jouer l'un ou l'autre avec DV secs. Et si ce n'est pas 50% ? Bonne question. Qu'y a-t-il à l'intérieur d'une noix... pardon, du crâne de votre adversaire ?

En fait si vous voyez le V et si vous avez affaire à un tout débutant qui met TOUJOURS sa plus petite carte dans cette situation, alors le valet n'apporte aucune information sur la présence de la dame, il jouerait pareil avec D4 au lieu de DV. Il faut alors tenter la répartition comme avec D432 manquants.

Mais dès que le joueur avec DV les joue un peu au hasard (on montre facilement que "un peu", c'est dans le rapport (6,78 - 6,22) / 6,78 = 8,33% et plus), alors il faut se dire que le V vient plus souvent de valet sec, et faire l'impasse. Vous devez supposer que votre adversaire joue D ou V indifféremment. Ce n'est pas un problème d'exactement 50%, mais de "plus de 8%".

De même en plus tordu, si un joueur a mis la dame, et que vous savez que c'est le menteur professionnel qui avec DV va TOUJOURS mettre la dame (toujours veut dire ici plus de 92%), alors c'est la révolution : la dame joue le rôle de petite carte vis-à-vis du valet. Et il faut alors jouer la répartition. Mais comme cette fois-là ce ne sera peut-être pas un mensonge, faites plutôt l'impasse !

Il vous manque D 10 9 3 2, accrochez-vous...

Vous avez en Ouest A J 8 7 en face de R 6 5 4 et vous voulez faire 4 levées (ce serait différent si vous vouliez presque assurer 3 levées). Le maniement est assez intuitif : jouer le roi puis vers les fourchettes A V 8. Mais jouer quelle carte ?

S'il tombe les deux petites cartes au premier tour, puis le 9 (ou le 10) il reste D 10 dehors, mais cela pourrait être D 2 peu importe, vous passez le valet : impasse à la dame normale avec 8 cartes.

Mais si le premier tour est R 3 7 9 ?... Vous repartez du 6 vers votre main, Sud met le 2, et avec A V 8 que faites-vous ?

Voici un raisonnement faux, pourtant basé sur des probabilités a priori qui sont exactes et tenant compte correctement des cartes équivalentes. Il ne reste que 2 cartes inconnues, D et 10, qui peuvent être indifféremment en Nord / Sud. 4 cas.

• Si c'est (D 10) 3 2 en Sud / 9 en Nord, il faut passer le 8 pour faire 4 levées en refaisant l'impasse, un cas de singleton à 8 cartes, 2,83%
• Si c'est (D) 3 2 / (10) 9, il faut passer le valet pour prendre le 10 puis ensuite l'as va capturer la dame. Un cas de doubleton divisé par deux car le 9 et le 10 sont équivalents, voir exemple avec DV. Donc 3,39 / 2 = 1,70%
• Si c'est (10) 3 2 / (D) 9, il faut mettre l'as, puis ensuite jouer le valet. Un cas de doubleton, cette fois sans division par deux, donc 3,39%
• Enfin, si c'est 3 2 / (D 10) 9, jouez n'importe laquelle, vous perdrez une levée.

On en tirerait la conclusion qu'il faut jouer le cas le plus probable, qui est le troisième, et mettre l'as. En fait le logiciel de calcul met le 8. Ce bug apparent, totalement incompréhensible, m'a valu un échange de mails avec Maurice Panis, ancien président de la FFB et spécialiste des maniements. L'explication a déjà été avancée, il s'agit des "fausses cartes".

Rien ne prouve que vos adversaires, dans les cas où des cartes intermédiaires "ne jouent pas", ne vont pas les mettre au premier ou au deuxième tour de préférence à une petite carte, rien que pour perturber les calculs exacts mais un peu scolaires.

Avec par exemple 10 3 2 en Sud et D 9 en Nord, Le premier tour sera R 2 7 9 (ou peut-être R 10 7 9). Mais le deuxième sera parfois 6 10... Là vous savez qu'il y a une ruse, vous "auriez dû" voir le 3. Mais où est-il ? En fait la bonne question est "où est la dame ?". Les 9 et 10 ont été rabaissés au rang de petites cartes et ne vous apportent aucune information, vous n'avez guère d'autre solution que de passer le valet. La dame va se faire.

Le raisonnement ayant conduit à mettre l'as en ayant vu 3 2 / 9 est faux car il faudrait pondérer les trois probabilités par la fantaisie des adversaires. Le joueur Sud avec 10 3 2 aurait de temps en temps mis le 10, donc la probabilité de le "voir" mettre 3 2 est inférieure aux 3,39% fièrement calculés. Les 1,70% de D 3 2 / 10 9 sont probablement exacts car il serait dangereux de mettre la dame au lieu d'une petite. Et avec D 10 3 2, en ayant vu le 9 de son partenaire, peu importe ce que met le joueur dans la mesure où le déclarant fait la double impasse à D 10. Moi je mettrais une petite en espérant que que le déclarant mette le valet, pas vous ?... Ce cas est moins net.

En conclusion sur ce cas, il va suffire que le joueur avec 10 3 2 mette le 10 dans plus 17% des cas, une fois sur 6, pour que les beaux calculs soient faux, et que le choix "passer le 8" quand on a vu 3 2 - 9 (toujours aux alentours de 2,83%) prenne le pas sur "mettre l'as" (car ses 3,39% seront réduits...).

En synthèse,

• l'intuition ferait mettre le valet, après tout il manque D 10 et vous avez A V ;
• le calcul simpliste vous dirait de mettre indifféremment le valet ou l'as, deux cas de doubleton ;
• le calcul plus évolué avec cartes équivalentes vous fait choisir l'as ;
• le bon choix, tenant compte du fait que le 9 et le 10 seront parfois traités comme de petites cartes, est de passer le 8.

Le piège est en quelque sorte au second degré : si l'on a vu 3 2 d'un côté, 9 de l'autre, c'est qu'il n'y a pas eu de fausse carte. S'il n'y en a pas eu, on est plus probablement dans le cas (D 10 3 2 en face de 9) où il ne pouvait pas y en avoir de manière utile...

Vous êtes toujours là ?...

Le bonneteau probabiliste

Si vous êtes arrivés jusqu'ici, vous méritez une récompense. Le fameux "paradoxe des trois portes" a fait couler beaucoup d'encre, des professeurs de maths ont crié au scandale (et j'ai gagné une bouteille de champagne contre un de mes directeurs).

Il y a trois portes, derrière l'une d'elles se trouve une superbe Ferrari, derrière les deux autres votre billet de retour en seconde classe. Vous choisissez, peu importe, la porte A.

Le meneur de jeu, exceptionnellement sympathique avec vous, et qui connaît la solution, vous avait dit "je vous donnerai un indice, vous en ferez ce que vous voudrez", et il ouvre alors la porte C pour vous montrer qu'elle ne débouche sur rien. Et maintenant c'est à vous : "vous aviez choisi la porte A... c'est votre dernier mot ?"

La plupart des gens croient à une arnaque et maintiendront courageusement leur choix initial. Et ils auront raison... une fois sur trois ! Les plus malins repartiront deux fois sur trois à Balma dans leur superbe bolide rouge ou jaune.

Pourquoi ? Parce que votre choix initial (A) est très respectable, avec 1/3 de chances. Mais en fait toute la probabilité restante est passée sur la porte B puisque la solution n'est pas C. C'est très difficile à admettre que, comme au bonneteau, les probabilités puissent passer d'un gobelet à l'autre.

Essayez de le visualiser avec un jeu de 52 cartes faces cachées, vous devez trouver l'as de trèfle. Vous choisissez une carte au hasard et le meneur de jeu retourne 50 des autres cartes. Ne pensez-vous pas qu'il serait raisonnable de modifier votre choix et de vous rabattre sur la 51^ème autre carte, l'autre carte à face cachée ?

Explication par les probabilités a posteriori : la solution ne peut être que A (votre choix initial) ou B (puisque ce n'est pas C). Si vous étiez tombé sur la bonne réponse A (1/3), le meneur de jeu va ouvrir au hasard B ou C, donc C une fois sur deux des 1/3 égal 1/6. Si la réponse est B (1/3), le meneur n'a d'autre choix que d'ouvrir la porte C (1/3). Parmi les 1/3 + 1/6 = 50% de cas encore possibles, la cause A ne représente qu'un tiers et la cause B deux tiers.

C'était encore une variation sur le même paradoxe : moindre choix, cartes équivalentes... Mais avec une formulation particulièrement "piégeuse".

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