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Un classique : probabilités des répartitions

Je suis déclarant, mon camp détient la majorité des cartes dans une couleur. Comment les cartes restantes sont-elles réparties entre les adversaires ?

Les cartes adverses sont d'abord considérées comme toutes équivalentes. On ne s’intéresse qu’aux différentes possibilités de répartition entre les deux adversaires. Ceci correspond par exemple aux situations suivantes :

  • J’ai ARD2 dans une couleur, et le mort a 345. Combien de chances de faire 4 levées ?
  • Notre camp a tous les atouts sauf ARDV. Combien de levées vais-je perdre le plus souvent, 2, 3, ou 4 ?
  • Nous avons 10 cartes, ARxxxxx / Vxx. Combien de chances de trouver Dxx mal placés ?

Remarques :

  • le calcul serait le même pour un joueur de flanc, qui voit le mort et peut donc s’intéresser à la répartition des cartes inconnues entre le déclarant et son partenaire ;
  • les probabilités sont calculées de la même manière dans le cas où les adversaires sont largement majoritaires dans une couleur, 8, 9 cartes et plus. Cela présente moins d’intérêt : soit on joue à la couleur et on coupe, soit on joue à SA et on subit !

Calcul de base (le minimum à connaître des probabilités au bridge)

On suppose ici que l'on n'a aucune information supplémentaire (annonces, entame, jeu de la carte) sur les autres couleurs, donc que l'on n'a pas encore commencé le jeu de la carte. Alors les 26 cartes inconnues peuvent donner lieu à C(26,13) répartitions entre les adversaires, il suffit de dénombrer celles où il y A cartes à gauche et B à droite, et donc 13-A et 13-B autres cartes.
La formule est p(A_B) = C(A+B,A) * C(26-A-B, 13-A) / C(26,13)

Bien sûr p(B_A) = p(A_B). On affiche le plus souvent les résultats symétrisés, par exemple la probabilité d'un 3-2 (3_2 et 2_3). Les valeurs qui suivent sont arrondies au % (le 9% devrait être 10% mais c'est pour que le total de la ligne fasse 100%). Des valeurs plus précises sont données en fin d'article.

 A+B

chicane

singleton

doubleton

triton

2

48%

52%

 

 

3

22%

78%

 

 

4

9%

50%

41%

 

5

4%

28%

68%

 

6

1,5%

14,5%

48%

36%

 On retrouve les résultats connus :

  • avec un nombre pair de cartes manquantes (sauf 2), la répartition déséquilibrée de 2 (3-1, ou 4-2) est plus probable que l'équilibre (2-2 ou 3-3) qui arrivera donc moins d'une fois sur deux. C'est parce que pour l'équilibre il n'y a pas l'addition A_B et B_A.
  • une très courte, chicane ou singleton, devient moins probable lorsque le nombre total de cartes augmente. 

Les réponses aux questions du début :

  • Il faut que les 6 cartes restantes soient réparties 3-3, donc 36%
  • Vous perdez 2 levées si la répartition est 2-2, 41%, 3 levées le plus souvent, 50%, et 4 levées s'ils sont 4-0, 9%. En moyenne 2,7 levées.
  • Les 3 cartes restantes sont réparties 3-0 dans 22% des cas, ceci regroupant le 3_0 et le 0_3. Donc un souci dans 11% des cas.

Lorsque des cartes sont connues dans les autres couleurs

Elles peuvent être connues parce qu'on les a vu tomber, ou par les défausses, ou par une entame 4è de la longue, ou encore en se rappelant les annonces. Si votre camp détient 5 cartes dans une couleur où un adversaire a ouvert d'un deux faible, vous savez que les cartes sont 6-2 dans cette autre couleur. Ceci modifie les probabilités de base.

Il y aurait donc un tableau comme le précédent pour chaque couple de nombre de cartes connues à gauche et à droite. La formule devient 

p(A_B, G, D) = C(A+B,A) * C(26-A-B-G-D, 13-A-G) / C(26-G-D,13-G)

Si les cartes sont connues de façon symétrique, les répartitions équilibrées sont un peu avantagées, donc les courtes deviennent moins probables. Mais les résultats changent peu, par exemple 24% au lieu de 28% pour un 4-1 si on connaît 6 cartes de chaque côté.

En revanche, la dissymétrie vient pas mal perturber les résultats. Par exemple, avec un "deux faible" connu (G-D = 6-2 dans une autre couleur)

 A+B

chicane

singleton

doubleton

triton

2

50%

50%

 

 

3

25%

75%

 

 

4

12%

50%

38%

 

5

6%

31%

63%

 

6

2,5%

18,5%

48%

31%

Les répartitions dissymétriques sont un peu avantagées, particulièrement les 5-0 et 6-0.

Mais ce tableau est toujours un cumul p(A_B)+p(B_A). Ces probabilités deviennent très différentes entre elles, le côté long dans une autre couleur a fortement tendance à être court dans la couleur étudiée, donc à accaparer la plus grande part de la probabilité d'une chicane ou singleton. C'est évidemment l'autre côté qui accapare la probabilité d'une longueur dans la couleur étudiée.

Dans l'exemple précédent, les 6% du 5-0, plus exactement 5,6% se répartissent en 0,2 + 5,4. Et les 63% du doubleton sont 40,4 + 22,5.

Le principe des cases vacantes

Ceci nous conduit directement à ce principe, utile dans les maniements de couleur. Comme les usagers du métro, les cartes ont tendance à s'installer dans les voitures vides. Deux simples exemples d'application :

  • Si les adversaires ont toujours fourni d'une couleur et qu'il ne leur reste plus que deux cartes, elles sont plus souvent réparties (>52%) que groupées (<48%).
  • S'il vous manque une dame et que vous hésitez sur le wagon où la chercher, sachez que la belle inconnue évitera plus souvent la voiture bondée (ouverture majeure, intervention, barrage). Mais elle voyagera peut-être plus souvent en première... traduction : du côté où il y a une vraie ouverture et des points, ça c'est une autre histoire

Probabilité d'une répartition particulière

Tous les tableaux précédents supposaient les cartes interchangeables et donnaient la probabilité globale. C'est rarement le cas. Exemples :

  • avec 5 cartes manquantes, D5432, quelles sont les chances que la dame soit troisième en Est ?
  • avec A8765 en face de DV4, quand ferez-vous 5 levées ?
  • vous avez, dans une couleur autres que l'atout, AR secs en face de V652. Quelles sont les chances de faire 3 levées en affranchissant le valet (dame sèche ou seconde ou troisième : on coupera) ? 

Dans tous ces exemples, il faut calculer la probabilité d'un ou de plusieurs cas de répartition réelle des cartes. Pour un seul cas, c'est la formule donnée au début, en enlevant le C(A+B,A) puisque les A cartes sont déjà imposées. On obtient le tableau ci-dessous (avec aucune carte connue par ailleurs, G=D=0). Il suffit ensuite de multiplier si nécessaire le pourcentage élémentaire par le nombre de cas répondant à la question.

 

chicane

singleton

doubleton

triton

2

24,00%

26,00%

 

 

3

11,00%

13,00%

 

 

4

4,78%

6,22%

6,78%

 

5

1,96%

2,83%

3,39%

 

6

0,75%

1,21%

1,61%

1,78%

Ici on constate bien qu'un cas de chicane est toujours moins probable qu'un cas de singleton, lui-même moins probable qu'un cas de doubleton etc.

D'où les réponses aux trois questions :

  • la dame troisième en Est peut être accompagnée de deux des petites cartes. Il y a C(4,2)=6 façons de choisir ces deux cartes (vérifiez... 43, 53, 52, 43, 42 ou 32). Un cas de doubleton avec 5 cartes manquantes représente 3,39%, la réponse est donc 6 fois plus, soit 20,34%.
  • il faut déjà se creuser un peu la tête pour trouver LE cas gagnant. Ce n'est pas un roi sec, mais R32 bien placé en face de 10 9. On part de la dame. Que l'adversaire couvre ou pas, cela ne change rien, R, 10 et 9 seront pris en deux ou trois levées. Donc un seul cas, 3,39%.
  • un peu plus long... Il y a six cartes manquantes. La dame sèche (en est ou ouest) représente deux cas de singleton, 2,42%. La dame seconde représente 10 cas de doubleton (2 pour le côté, fois 5 pour le choix de la petite carte), donc 16,1%. Pour la dame troisième, il sauffit de prendre tous les cas de 3-3, c'est le 35,53% bien connu. Tous ces cas s'excluent mutuellemeent, on peut les ajouter et on trouve 54%.

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Annexe : Tableau plus précis des probabilités de répartition, lorsque aucune autre carte n'est connue.

 

chicane

singleton

doubleton

triton

quarton

2

48,00%

52,00%

 

 

 

3

22,00%

78,00%

 

 

 

4

9,57%

49,74%

40,70%

 

 

5

3,91%

28,26%

67,83%

 

 

6

1,49%

14,53%

48,45%

35,53%

 

7

0,52%

6,78%

30,52%

62,17%

 

8

0,16%

2,86%

17,14%

47,12%

32,72%