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Jeu bien rangé

Dans la série "les probabilités inutiles"... Cet article mérite un Oscar.

Je me suis parfois demandé, quand je sors mes 13 cartes de l'étui, en supposant qu'elles viennent d'être battues et distribuées... Ou qu'à la table précédente les joueurs ont pris le soin de mélanger leurs cartes avant de les remettre dans l'étui.

Quelle est la probabilité que mon jeu soit naturellement rangé par couleurs ?

Il me semble que la plupart des joueurs les rangent par couleur, "en vrac" à l'intérieur de chaque couleur, et sans ordre entre les couleurs sauf une alternance une noire et une rouge. Par exemple :

Si vous les triez complètement (dans chaque couleur de la plus forte à la plus faible) et si en plus vous mettez toujours les couleurs dans le même ordre (PCTK par exemple) vous courez le risque d'adversaires qui regardent où vous prenez votre carte. Peut-être pour annuler totalement ce risque, certains joueurs les laissent-ils toutes en vrac sans même les classer par couleur ?

Admettons que vous les rangez par couleur. Est-ce que cela vous est déjà arrivé de découvrir un jeu rangé ?

J'ai fait le calcul et ça arrive environ une fois sur 46 000, ce qui n'est pas beaucoup mais si vous jouez souvent, trois fois par semaine plus des compétitions, cela fait 5 000 donnes par an, et donc ce n'est pas du tout impossible que cela vous arrive, une fois tous les 10 ans. Quelle satisfaction, quel gain de temps ce jour-là !

Si vous acceptez, mais c'est moins lisible, le voisinage Coeur-Carreau ou Trèfle-Pique, alors c'est trois fois plus souvent, une fois tous les 3 ans.

Comment calculer cette probabilité ?

Cela peut être compliqué comme beaucoup de problèmes de dénombrement quand on les prend mal. On peut d'abord passer par la probabilité que les cartes soient complètement triées, c'est-à-dire de la plus forte à la plus faible dans chaque couleur (ARDV...432), et les couleurs dans un ordre imposé (PCKT l'ordre des enchères, ou PCTK plus lisible : une noire une rouge, ou autre chose si vous préférez mais prédéfini). Par exemple :

Les 13 cartes ont alors un ordre naturel, il n'y a qu'une chance sur factorielle 13 (13*12*11*...*3*2) soit une chance sur plus de 6 milliards, qu'elles soient dans cet ordre : une chance sur 13 que le RP, la plus forte, soit à gauche, et une chance sur 12 que le VP lui succède, une sur 11 pour le 8P, une sur 10 pour la suivante 9C etc. C'est vrai pour n'importe quel type de distribution.

Ensuite pour une main de type abcd (5332 ici) que l'on veut seulement classer dans l'ordre imposé des couleurs, ici PCTK, on peut permuter n'importe comment les a cartes de la même couleur, soit factorielle(a) possibilités, et indépendamment les b cartes, les c et les d. Le nombre de possibilités, donc la probabilité est ainsi multipliée par a!*b!*c!*d!  (le point d'exclamation est le symbole pour la factorielle, et par convention 0! = 1). Dans l'exemple, 5332, le produit des factorielles vaut 8640 et voici une des possibilités :

On peut ensuite intervertir les couleurs, en conservant l'ordre dans chaque couleur : ici le paquet 9A3 à Carreau passe en tête, les T ensuite etc., cela multiplie encore le résultat par un nombre m qui dépend du type de main : le plus souvent (pas de chicane) il vaut 24 si l'on accepte le voisinage de deux couleurs rouges ou de deux couleurs noires (on y reviendra...) Par exemple.

Le résultat va dépendre du type de main parmi les 39 possibles (de 4-3-3-3 à 13-0-0-0). Pour cette main 5332, la probabilité de la découvrir classée par couleur est de 3,33E-5 soit une chance sur 30 000.
Sans chicane (19 chances sur 20), m vaut 24 car votre jeu sera aussi bien classé avec n'importe quelle permutation des 4 couleurs, PCTK, PCKT, TKPC etc. Si vous voulez alterner noire et rouge alors m ne vaut que 8 (4 choix possibles pour la couleur de gauche, et seulement 2 pour sa voisine immédiate, les deux autres sont alors fixées)

Avec une chicane (1 chance sur 20), m vaut 6 car il n'y a plus que trois ordres possibles pour les couleurs, et seulement 2 si vous voulez alterner le noir et le rouge. Par exemple avec chicane C, les K doivent être au centre et donc PKT ou TKP.
Avec deux chicanes (1 chance sur 10 000), m vaut 2. Et là vous n'avez pas le choix, soit votre jeu est bicolore noir-rouge (deux chances sur 3) soit il est tout noir ou tout rouge
Avec trois chicanes (tous les 30 millions d'années...) votre main unicolore est naturellement rangée ! Demandez le grand chelem, et si on vous contre n'oubliez pas de surcontrer.
Le calcul est donc relativement simple pour un type de main abcd. Il faut ensuite faire la somme, pour les 39 types possibles, de chaque probabilité de bon rangement multipliée par la probabilité de ce type de main abcd, et cumuler tout ça.
On aboutit à une probabilité cumulée de 6,49E-5, une chance sur 15411. Les plus gros "contributeurs" sont les mains 5431-6421-4432-5332-5422.
Si l'on veut alterner noir-rouge, c'est plus pratique mais c'est trois fois moins souvent (m est divisé par 3 sans chicane ou avec une seule, en oubliant les mains avec deux chicanes qui sont très rares).

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