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Jeu bien rangé

Dans la série "les probabilités inutiles"... Cet article mérite un Oscar.

Je me suis parfois demandé, quand je sors mes 13 cartes de l'étui, en supposant qu'elles viennent d'être battues et distribuées...

Quelle est la probabilité que mon jeu soit naturellement rangé par couleurs ?

Il me semble que la plupart des joueurs les rangent par couleur, "en vrac" à l'intérieur de chaque couleur, et sans ordre entre les couleurs sauf une alternance une noire et une rouge.

Si vous les triez complètement (dans chaque couleur de la plus forte à la plus faible) et si en plus vous mettez toujours les couleurs dans le même ordre (PCTK par exemple) vous courez le risque d'adversaires qui regardent où vous prenez votre carte. Peut-être pour annuler totalement ce risque, certains joueurs les laissent-ils toutes en vrac sans même les classer par couleur ?

Admettons que vous les rangez par couleur. Est-ce que cela vous est déjà arrivé de découvrir un jeu rangé ?

J'ai fait le calcul et ça arrive environ une fois sur 15 000, ce qui n'est pas beaucoup mais si vous jouez souvent, trois fois par semaine plus des compétitions, cela fait 5 000 donnes par an, et donc ce n'est pas du tout impossible que cela vous arrive. Quelle économie d'énergie ce jour-là !

Comment le calculer ?

Il faut d'abord passer par la probabilité que les cartes soient triées, c'est-à-dire de la plus forte à la plus faible dans chaque couleur, et les couleurs dans un ordre imposé (PCKT l'ordre des enchères, ou PCTK plus lisible, ou autre chose prédéfini).

Par exemple : RP VP 8P 9C 6C DT VT 8T 5T 3T RK 9K 3K

L'ordre étant imposé, il n'y a qu'une chance sur factorielle 13 (13*12*11*...*3*2) soit une chance sur plus de 6 milliards qu'elles soient dans cet ordre. Une chance sur 13 que le RP soit à gauche, et une chance sur 12 que le VP lui succède, une sur 11 pour le 8P, une sur 10 pour la suivante 9C etc. C'est vrai pour n'importe quel type de distribution.

Ensuite pour une main de type abcd que l'on veut seulement classer par couleurs, on peut permuter n'importe comment les a cartes de la même couleur, soit factorielle(a) possibilités, et indépendamment les b cartes, les c et les d. La probabilité est ainsi multipliée par a!*b!*c!*d!  (le point d'exclamation est le symbole pour la factorielle, et par convention 0! = 1). Dans l'exemple, 5332, le produit des factorielles vaut 8640 et voici une des possibilités :  VP RP 8P 9C 6C 8T 3T 5T VT DT  3K 9K RK

On peut ensuite intervertir les couleurs, cela multiplie encore le résultat par un nombre m qui dépend du type de main, il vaut généralement 24 si l'on accepte le voisinage C à côté des K et/ou P à côté des T. Par exemple 9C 6C VP RP 8P 8T 3T 5T VT DT  3K 9K RK

Le résultat va dépendre du type de main parmi les 39 (de 4-3-3-3 à 13-0-0-0). Pour cette main 5332, la probabilité de la découvrir classée par couleur est de 3,33E-5 soit une chance sur 30 000.
Sans chicane (19 chances sur 20), m vaut 24 car votre jeu sera aussi bien classé avec n'importe quelle permutation des 4 couleurs, abcd, abdc, acbd etc. Si vous voulez alterner noire et rouge alors m ne vaut que 8 (4 choix possibles pour la couleur de gauche, et seulement 2 pour sa voisine)

Avec une chicane (1 chance sur 20), m vaut 6 car il n'y a plus que trois ordres possibles pour les couleurs, et seulement 2 si vous voulez alterner le noir et le rouge.
Avec deux chicanes (1 chance sur 10 000), m vaut 2. Et là vous n'avez pas le choix, soit votre jeu est bicolore noir-rouge soit il est tout noir ou tout rouge
Avec trois chicanes (tous les 30 millions d'années...) votre main unicolore est naturellement rangée !
Le calcul est donc relativement simple pour un type de main abcd. Il faut ensuite faire la somme, pour les 39 types possibles, de chaque probabilité de bon rangement multipliée par la probabilité de main abcd.
On aboutit à une probabilité cumulée de 6,49E-5, une chance sur 15411. Les plus gros "contributeurs" sont les mains 5431-6421-4432-5332-5422.
Si l'on veut alterner noir-rouge, c'est trois fois moins souvent (en oubliant les mains avec deux chicanes qui sont très rares).

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