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Sécurité et cumul de chances

Un problème de Lebel dans le Point du 9 février 2017.

Bon prétexte pour revoir les calculs de cumul de chances, et évaluer le "coût" de la sécurité suivant le type de tournoi.

Le plan de jeu (A)

Sud joue 3SA dans le silence adverse. Entame du 5P pour le V en Est.

9 3
A R 8 7 4 2
A 8 4
9 8


A R 4
D
R D 6 3 2
V 10 7 4

Ouf, vous avez échappé à l'entame T, pas vraiment dangereuse avec V 10 9 8, mais l'entame P vous laisse espérer de faire votre contrat et avec beaucoup de "mieux".

Attention à débloquer la DC, car vous n'avez que l'AK pour remonter au mort.

Le plan de jeu de M. ou Mme Toulemonde sur cette donne qui paraît enfantine :

AP, DC, xK pour l'As, AC, RC (et si on a la chance qu'ils soient 3-3 on continue) ; puis xK pour RK DK et tenter la répartition des K, et s'ils sont 3-2 on fera 5 levées à K.

On fera donc :
13 levées si les C sont 3-3 et les K 3-2 (AT, RT, DT adverses "ramenés à la maison", mais l'entameur avait le RT 3è et il n'est pas extraterrestre)
11 levées si les C sont 3-3 et les K pas 3-2
10 levées si les C ne sont pas 3-3 et que les K sont 3-2
8 levées si les deux couleurs rouges sont mal réparties

Un peu de probas...

On est là pour ça, non ? Supposons l'indépendance entre la répartition des K et des C.

Les C 3-3 : 35,5%, les K 3-2 : 67,8%, c'est classique. On obtient facilement les probabilités des 4 résultats en multipliant P1 ou (1-P1) si la condition C est remplie ou pas, et P2 ou (1-P2) pour les K. Cela donne :

13 levées à 24% ; 11 levées à 11,4% ; 10 levées à 43,7% pour un total à 79,3% ; et la chute avec 8 levées à 20,7%

Ces résultats sont approximatifs car les répartitions des K et des C ne sont pas indépendantes : si par exemple les C sont 4-2 avec 4 cartes en Ouest, alors il y a plus de "cases vacantes" en Est pour accueillir les K, et on aura plus de cas défavorables avec 4 K en Est. Globalement la mauvaise répartition d'une couleur augmente légèrement le risque de mauvaise répartition de l'autre, donc les résultats précédents sont un peu optimistes. Le calcul exact, un peu fastidieux car il faut calculer tous les cas possibles de nombre de K et de C chez l'un des adversaires, donne la probabilité de chute à 21,4% au lieu de 20,7, c'est quand même très proche ! Dans la suite on garde les résultats approximatifs.

Le plan de sécurité (B)

C'est celui du problème. On ne peut rien faire pour améliorer les chances du contrat avec les C car s'ils sont 4-2 on n'aura pas de reprise au mort pour encaisser deux C maîtres.

Mais cette possibilité existe pour les K, tant qu'on tient encore les P, et qu'il n'y a pas de gros risque à T.

Donc le maniement : AP, coup à blanc à K, et si les deux adversaires fournissent, les K sont au pire 4-1 et le contrat sera gagné juste fait : 2P, 3C et 4K (du mieux si les adversaires s'obstinent à P, oublions...)

Le plan B assure le contrat dans tous les cas gagnants précédents + le cas des C mal répartis et les K 4-1, que l'on peut évaluer à 18,2%. Lebel gagne donc ce contrat à 97,5%, et ne chute donc que dans 2,5% (K 5-0 et C pas 3-3) Valeur exacte 97,3%

Avantages en match par 4

L'équipe A joue "bêtement" le test des C puis des K, l'équipe B joue la sécurité et on admet que les adversaires vont encaisser leurs levées à T si on leur rend la main. Suivant les répartition des couleurs rouges, l'équipe A va marquer des différences de :
120 soit 3 IMP à 24% (4 levées de mieux)
60 soit 2 IMP à 11,4%
30 soit 1 IMP à 43,7%
"payé", chute aux deux tables, à 2,5%
- 450 ou -700, soit -10 ou -12 IMP suivant vulnérabilité, à 18,2% : l'expertise a payé, juste fait au lieu de un de chute !

En moyenne (ou "espérance mathématique", total des IMP dans chaque cas multiplié par la probabilité), l'équipe B gagne 0,43 (non vulnérable) ou 0,80 IMP (vulnérable) sur cette donne. Les 10 ou 12 IMP, quand la sécurité fonctionne, sont bien supérieurs à l'abandon des levées de mieux dans les autres cas (plus fréquents mais ça paie moins).

En par 4, net avantage à la ligne de jeu "sécurité"

C'est presque toujours le cas dès qu'il s'agit d'un contrat de manche et qu'il existe un jeu de sécurité. Les contre-exemples sont rares : en gros il faut que le gain sur la probabilité de réussir la manche soit de l'ordre de 5%, alors le manque à gagner sur la ou les levées de mieux devient prédominant.

Et en tournoi par paire ?

Là il faut faire plus de levées que les autres, peu importe le score, et que le contrat soit réussi ou pas. Il faut donc chercher les levées de mieux, et tant pis si on chute un peu plus souvent. Les probabilités approchées du § précédent sont encore utilisées et donc :

A est meilleur que B dans 79,2% des cas (4 ou 2 ou 1 de mieux)
moyenne dans 2,5% (tous chutent)
A est moins bon dans 18,2% (A chute de 1, B fait ses 9 levées)

En moyenne sur toutes les répartitions rouges possibles, une paire qui joue (A) sera mieux classée sur cette donne qu'une qui joue (B), et pas qu'un peu ! 79,2 - 18,2 = 61% d'écart sur la donne.

Ensuite cela dépend du nombre de paires qui jouent l'une ou l'autre stratégie, puisque le total des % doit faire 50 fois le nombre de paires... Négligeons les 2,5% de cas d'égalité, et arrondissons à 80-20 :

Par exemple une seule paire (A) opposée à un "champ" très sécuritaire : A va marquer en moyenne 80% (100 à 80% et 0 à 20%) et les (B) vont être légèrement en dessous de 50%.
Inversement, si une seule paire d'experts joue la sécurité (B) dans un tournoi où tous les autres jouent (A), les (A) seront légèrement au-dessus de 50% et (B) sera en moyenne vers 20% (100 à 20% et 0 à 80%)
Plus compliqué, si la moitié des paires joue (A) et l'autre joue (B)... Dans 80% des cas, les A marqueront 75% sur cette donne (top partagé) et les B 25%. Quand il fallait jouer la sécurité, ce sera l'inverse, tous les B à 75 et les A à 25. En moyenne sur les répartitions des cartes rouges, les A seront à 65% et les B à 35%.

Ces % en moyenne sur une seule donne ont un sens en termes de probabilité, mais sont un peu une vue de l'esprit, dans la mesure où cette donne, si elle vous arrive un jour, ne sera jouée qu'une seule fois, et alors la répartition des C et des K sera ce qu'elle sera... Peut-être cette fois-là fallait-il jouer (B) plutôt que (A) ? Mais cela n'arrivera pas très souvent, comme le montrent les chiffres, et donc :

Il ne faut absolument pas jouer ce maniement de sécurité en TPP.

 

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