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Réponses sur 2 Carreaux

Lorsqu'on a un nouveau partenaire, il est d'usage de négocier les conventions pour le convaincre d'adopter tel ou tel système de conventions ou de défausses, car bien sûr on a choisi le meilleur, et on a toujours sous la main un exemple pour le démontrer.

Les réponses au 2K forcing de manche

Elles font partie de la panoplie, bien qu'on ouvre de 2K environ une fois sur 100, c'est-à-dire tous les 4 tournois.
Il y aurait sûrement d'autres priorités dans la mise au point des conventions, mais bon...

Il y a une foule de systèmes, j'en connais trois et demi :

  • Le standard SEF (version 2012) : 2C faible, 2P un As majeur, 2SA pas d'As mais 8H+ ou deux Rois, 3T ou 3K l'As mineur, 3SA deux As.
  • Variante avec deux As, on les répond en CRM (prononcer crème) : 3C 2 As de la même couleur (CK ou PT), 3P 2 As de même rang (PC ou KT), 3SA 2 As mélangés (ce qui reste : PK ou CT). L'idée est d'utiliser les deux paliers 3C et 3P inutilisés dans la réponse standard pour leur faire véhiculer un message.
  • Réponse de force, où l'on essaie aussi de préciser le nombre de Rois : 2C et 2SA comme ci-dessus, 2P un As sans Roi, 3T un As un Roi, 3K un As deux Rois, 3C-3P-3SA deux As réponse CRM (pour certains, c'est 1A 1R stricto sensu, pour d'autres c'est 1A et l'équivalent de 1R en points H, c'est-à-dire qu'on mettra 3T avec un As et deux Dames, ou une Dame et un Valet...)
  • Réponse ICRM (rien à voir avec Apple, mais c'est le i-crème), où l'on privilégie la description du cas un As un Roi. Mon préféré bien sûr, et je le prouve...

Le ICRM : 2C toujours rien ou pas grand'chose, 2P un As creux, 2SA un peu de jeu sans As (comme dans le SEF), et 4 réponses pour traiter les 16 cas possibles de mariage As-Roi

  • 3T : I comme identiques, l'As et le Roi sont de la même couleur (au sens pokérien du terme) : As de Coeur et Roi de Coeur par exemple
  • 3K : C comme couleur, tous deux rouges, ou tous deux noirs, mais différents : As de Trèfle et Roi de Pique par exemple, ou l'une des trois autres possibilités
  • 3C : R comme rang, tous deux majeurs ou mineurs
  • 3P : M comme mélangés, pour les 4 autres cas restants, pique-carreau ou coeur-trèfle.

Et quand on a deux As, on dit 3SA, quels que soient les As. Et avec un As et deux Rois ? On se débrouille... on répond comme un As sans Roi, et on signalera sa grande force ultérieurement (notez que cela fait au moins 10H sur un 2K, c'est rare, de l'ordre de 2% des réponses à 2K...)

Ce système permet presque toujours de connaître l'As et le Roi du répondant :

Généralement (97%, calcul fait en annexe) il ne manque à l'ouvreur qu'au maximum un As (et un ou plusieurs Rois) ou alors au maximum un Roi (et un ou plusieurs As), l'ICRM donne toujours l'information exacte : on identifie d'abord facilement avec son jeu l'As ou le Roi qui manquait, et la réponse ICRM indique facilement l'autre carte.

Supposons qu'il manque AC RC RK RT, mais vous ouvrez de 2K avec vos 3 As, 1 Roi, 4 Dames et un Valet, le compte y est. Quand vous entendez une réponse entre 3T et 3P, votre partenaire a forcément l'AC ; si c'est 3T, il a aussi le RC (identiques), 3K il a le RK (deux rouges), et enfin 3P un As et un Roi mélangés, c'est donc AC et RT. Et si vous entendez 3C c'est que votre partenaire s'est trompé...

L'ouvreur ayant beaucoup de points d'honneur, il y a peu de chances qu'il lui manque 2 As et 2 Rois (14 points manquants) mais cela peut arriver (3%). Il y a alors deux cas de figure suivant les couleurs des 4 pièces manquantes. En fait parmi les 36 possibilités de 2 As et 2 Rois chez l'ouvreur, 24 sont favorables : l'ICRM permet à coup sûr de connaître l'As et le Roi du déclarant (exemple 1) ; 12 sont défavorables comme dans le second exemple.

Supposons qu'il manque AC AT RP RT ; sur la réponse "I" (3T) il saura que le répondant a AT et RT (le seul cas possible). Sur "C" (3K) c'est AT et RP. Sur "R" (3C) c'est AC et RP, et sur "M" c'est AC et RT : chacune des 4 possibilités de trouver 1 As et 1 Roi chez le répondant donne une réponse différente, et les cartes sont connues avant même d'avoir atteint le palier de 3SA.

Supposons qu'il manque AP AC RK RT, le "I" et le "R" ne peuvent se produire, le "C" est ambigu (c'est AP RT ou AC RK), ainsi que le "M" (c'est AP RK ou AC RT).

Si le 2K est fait avec une main très distribuée, il peut manquer 2 As et par exemple 3 Rois (ou l'inverse, encore moins fréquent). Il y a alors 6 combinaisons possibles quand on entend "1 As et 1 Roi" ; même en éclatant en 4 réponses, il y a un peu plus de cas ambigus. Mais même avec "seulement" 20H+ pour ouvrir de 2K, de telles situations n'arrivent que dans 1% des cas.

L'ICRM fonctionne donc sans ambiguïté dans environ 99% des cas ! (les 97% quand il ne manque qu'un As ou un Roi à l'ouvreur, et deux tiers des 3% où il lui manque deux As et deux Rois)

L'autre jour j'essayais de convaincre ma partenaire des beautés de l'ICRM, en argumentant que sur 2K, on a beaucoup plus souvent un As et un Roi que deux As. Il vaut donc mieux utiliser les possibilités de réponses à décrire des cas fréquents que des cas plus rares.

Oui mais combien plus souvent ? That is the question... Enfin, voilà quelque chose à calculer...

La réponse est : en face d'un 2K, on a environ 4 fois plus souvent 1 As 1 Roi que 2 As

3 à 6 fois en fait suivant les critères d'ouverture de 2K en points d'honneur.

Une approche simpliste : il y a 6 possibilités de couple As-As (choisir 2 parmi 4) et 16 de couple As-Roi, on pressent donc au moins 2,7 fois plus souvent.

Au moins, car deux As c'est 8H et un As un Roi c'est 7H... OK ? Et en face d'un 2K les points sont rares, ce point d'écart vient plomber la probabilité du cas avec deux As, car l'ouvreur aura souvent 3 ou 4 As (et il ne peut y en avoir 2 en face...).

De plus quand le répondant a 2 As, l'ouvreur a le plus souvent les deux autres. Et il est alors inutile de lui décrire les deux As que l'on possède !

Ceci conduit à s'intéresser à la statistique du nombre d'As et de Rois chez le partenaire de l'ouvreur 2K

Il faut mouliner pas mal de probabilités, en traitant tous les cas de répartition chez l'ouvreur. Le principe du calcul est donné en annexe.

Un préalable est : quels types de main doit-on considérer chez l'ouvreur ? Rappels des conditions de l'ouverture 2K Forcing manche

  • 24 HL
  • ou un unicolore avec la manche moins une levée
  • Dans son livre "2 faibles et dépendances", Bessis met une condition supplémentaire : il faut des levées de défense, donc beaucoup de points d'honneur. Il fixe une limite basse vers 16-17H, mais les trois exemples qu'il donne ont exactement 20H.

Pour le calcul, comme il est très difficile de raisonner à la fois sur les points H et sur les distributions, je n'ai raisonné que sur les points H en fixant un seuil en points H que l'on peut placer à différents niveaux :

  • 24H, 2K toutes distributions qui est très frileux car il éliminerait les unicolores forts ;
  • 20H qui a contrario suppose un jeu très sympathique (car sont inclus à tort dans la statistique des jeux plats, ou unicolores un peu moins forts, de 20 à 23H qui seront ouverts de 2T ou 2SA mais pas 2K) ;
  • et un intermédiaire à 22H, moyenne intuitive des deux cas précédents : les vrais 2K super-costauds et des unicolores un peu moins forts en points H.

On peut ainsi calculer la probabilité que le répondant ait par exemple exactement un As et un Roi quand le partenaire a ouvert de 2K, suivant que cette annonce garantit 24, 22, ou 20H.

Le cas 22H semble celui à retenir, les autres sont là pour indiquer la sensibilité à l'hypothèse de nombre de points, ce qui ne change pas les conclusions. Les probabilités sont indiquées dans le tableau qui suit, les cumuls sont dans les cases colorées. Le 0,42% en haut est la probabilité que l'ouvreur ait les 22H+, c'est moins d'une fois sur 200.

0,4237%

nombre de Rois chez le répondant
22H et plus


0 1 2 3 4


100,00% 52,31% 38,57% 8,50% 0,61% 0,01%
nombre d'As 0 68,41% 33,05% 27,85% 6,94% 0,56% 0,01%

1 29,09% 17,36% 10,14% 1,53% 0,05% 0,00%

2 2,47% 1,87% 0,57% 0,03% 0,00% 0,00%

3 0,03% 0,03% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

4 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

 

Par exemple le répondant a 68% de chances de n'avoir aucun As s'il y a 22H et + en face.

Il a 60% de chances de répondre 2C : pas d'As et 0 ou 1 Roi, et 8% de répondre 2SA (un peu plus car il y aurait des cas avec par exemple 1 Roi et 3 Dames...)

Ce qui nous intéresse plus, c'est :

  • 10% de chances d'avoir 1 As et 1 Roi
  • 2,5% de chances d'avoir 2 As

Il n'y a pas photo... En réponse de force, on va dire 3T (1 As 1 Roi) dans 10% des cas, et éclater le cas 2 As en 3 sous-cas qui seront chacun à moins de 1%, c'est très mauvais en termes de théorie de l'information.

D'autant plus que ça ne sert à rien de dire quels sont vos 2 As quand le déclarant a les 2 autres, ce qui va arriver le plus souvent. Si on ne garde que les cas où le déclarant a 0 ou 1 As, le 2,5% devient 0,22% : le "CRM" pour les As n'est donc intéressant qu'à peine une fois sur dix... Pour comparer l'intérêt de l'ICRM pour 1A1R et du CRM pour 2A, il faut comparer 10% et 0,22%. A votre avis ?

En ICRM (et toujours avec cette hypothèse 22H+) les 10% de 1 As 1 Roi sont éclatés en 4 réponses 3T à 3P, chacune avec à peu près la même probabilité que 2 As, 2,5% où l'on dit 3SA. C'est bien plus satisfaisant.

Le cas un peu gênant de 1 As et 2 Rois est à 1,5%, et représente moins du dixième de la réponse 1 As 0 Roi. Le déclarant doit être conscient que s'il entend 2P, ce sera 9 fois sur 10 1 As et 0 Roi, 1 fois sur 10 ce sera 1 As et 2 Rois.

Avec 24H

0,1017%

nombre de Rois chez le répondant
24H et plus


0 1 2 3 4


100,00% 56,91% 36,17% 6,56% 0,35% 0,00%
nombre d'As 0 75,72% 40,39% 29,09% 5,89% 0,34% 0,00%

1 23,09% 15,51% 6,91% 0,67% 0,01% 0,00%

2 1,18% 1,01% 0,17% 0,00% 0,00% 0,00%

3 0,01% 0,01% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

4 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

Ce cas 24H+ est pour mémoire car il est clair que de nombreuses ouvertures 2K se feront avec moins de points, ne serait-ce qu'avec les points HL : 22H et une couleur 6ème.

Ici, 6,91% d'avoir 1A1R et 1,18 d'avoir 2A : le ratio est presque 6, l'ICRM est encore plus intéressant.

Et si l'on ne tient compte que des situations où le CRM pour deux As pourrait apporter quelque chose, on tombe à 0,04% !

Avec 20H

1,4451%

nombre de Rois chez le répondant
20H et plus


0 1 2 3 4


100,00% 48,37% 40,35% 10,33% 0,92% 0,02%
nombre d'As 0 61,48% 27,10% 26,00% 7,59% 0,76% 0,02%

1 34,14% 18,31% 13,06% 2,62% 0,15% 0,00%

2 4,27% 2,87% 1,28% 0,12% 0,00% 0,00%

3 0,11% 0,09% 0,02% 0,00% 0,00% 0,00%

4 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

Ici 13,06% d'avoir 1A1R et 4,27% d'avoir 2A : le ratio est de 3. Il reste très intéressant de détailler les 13% en 4 réponses ICRM à 3,3% chacune, et de répondre 3SA avec 2 As quelconques.

La situation 2 As chez le répondant avec moins de 2 As chez l'ouvreur est un peu plus probable avec des 2K relativement faibles, mais elle n'est qu'à 0,75% (CRM aux As utile).

Le CRM pour décrire deux As est donc totalement inutile

En effet le tableau en annexe montre que l'ouvreur a presque toujours 2 As et plus, seulement 1% de chances d'avoir un seul As (pour un 2K à 22H+). Ce n'est donc que dans ce 1% des cas de 2K qu'il serait utile de préciser quels sont les deux As du répondant. Dans les autres 99%, soit en général le répondant n'aura que 0 ou 1 As, soit il va beaucoup réfléchir pour annoncer ses 2 As en CRM alors que de toute façon c'est inutile car le déclarant sait parfaitement les 2 As qui lui manquent !

Si l'on accepte l'ouverture de 2K dès 20H+, il y aura un peu plus souvent des mains avec 1 seul As (exceptionnellement zéro), le calcul donne 3,38% ce qui ne vaut toujours pas la peine de gâcher trois paliers pour décrire les éventuels 2 As du répondants. D'autant plus qu'il faut raisonner sur la combinaison : 2 As chez le répondant et moins de 2 chez l'ouvreur, qui est à 0,75% des donnes ouvertes de 2K. Le CRM dans le cas de deux As n'apportera une information au partenaire que pour une donne sur dix mille...

Gardez les 3 paliers pour autre chose, pour faire l'ICRM bien sûr, en annonçant votre As et votre Roi !

La réponse de force semble bien inférieure à l'ICRM

Elle indique le cas 1A2R en plus du cas 1A1R, et précise les 3 cas de 2A en CRM au lieu de préciser les 4 cas de 1A1R. Toujours le même nombre de paliers utilisés.

L'inutilité du CRM pour 2A a été traitée ci-dessus. Qu'en est-il du cas 1A2R ?

Si l'on considère un cas moyen avec 22H+ pour ouvrir de 2K, le répondant n'aura 1A2R que sur 1,5% des ouvertures 2K (0,7 à 2,7% suivant hypothèse de points H). C'est intéressant à savoir qu'il y a deux Rois en plus de l'As, alors qu'avec l'ICRM il faut faire quelques contorsions, d'abord annoncer 2P (1A0R) puis se débrouiller pour signaler les 6 points de plus. Mais c'est tout de même assez rare... rappelons que le cas 1A1R est entre 7% et 13% suivant l'hypothèse faite sur le seuil de points H, 4 à 10 fois plus souvent que 1A2R. C'est donc dommage de ne pas préciser les cas 1A1R.

Bonne idée d'annoncer le cas 1A2R, mais très mauvaise idée de détailler 2A.

En fait il faudrait un palier de plus au système ICRM pour indiquer le cas 1A2R, mais alors on arriverait à 4T, dommage de dépasser le palier de 3SA pour des cas finalement assez rares.

Un faux-problème : la réponse 2P (un As creux)

La réponse de force et l'ICRM annoncent de la même façon 1A0R : 2P, alors que le standard SEF, de façon un peu bâtarde, lui consacre 3 paliers : 2P = As majeur, 3T = AT, 3K = AK. N'est-ce pas une perte d'information, car on aura bien plus souvent un As creux qu'un As et un Roi (17% contre 10% avec 22H+ chez le déclarant) ?...

Pas de problème en fait car le déclarant aura le plus souvent 3 As (ou 4 mais alors pas de réponse 2P !). Il y a ambiguïté si le déclarant a moins de 3 As quand il entend 2P.

On peut calculer que la probabilité de cette situation ambigüe (ramenée aux ouvertures 2K) est de 7,4% dans le cas 22H+, un peu moins de la moitié des 17%. Ce n'est pas négligeable... Il faudra alors passer par les contrôles si le déclarant a besoin de connaître l'As manquant parmi les deux qu'il n'a pas.

Ce petit inconvénient est plus que compensé par la précision de l'ICRM dans le cas 1A1R où après une seule réponse le déclarant connaîtra les deux cartes-clés.

retour...

 

********************* Annexes *******************

Pour calculer ces tableaux de probabilités, on détermine tous les cas possibles de l'ouvreur de 2K, suivant qu'il a de 0 à 4 As, de 0 à 4 Rois, 0 à 4 Dames et 0 à 4 Valets. 5 puissance 4 = 625 cas, dont seulement 610 utiles car l'ouvreur n'a que 13 cartes et pas 16, le pauvre.

On conserve tous les cas ou le nombre de points H est supérieur ou égal au seuil choisi (ici 22, 24 ou 20). Il y en a 196 pour 24+ , 253 pour 22+ et 313 pour 20+.

On calcule la probabilité de chaque main de l'ouvreur.

Les 13 cartes de l'ouvreur étant connues, on calcule ensuite la probabilité que le répondant ait x As et y Rois, certains cas étant évidemment impossibles car ils donneraient plus de 4 As ou Rois.

Par exemple pour le seuil 22, la main la plus probable de l'ouvreur est 3A 2R 2D 0V qui représente 10,42% des mains de 2K. Le répondant peut avoir 0 ou 1 As, 0 à 2 Rois, on ne s'intéresse pas aux D ni aux V considérés comme cartes ordinaires (pardon Mesdames), et on peut faire le dénombrement des cas et calculer que le répondant va avoir 28,45% de chances d'avoir 0A0R, 30,82% d'avoir 0A1R etc.

On passe en probabilités conditionnelles en multipliant ces dernières par la probabilité 0,1042 que l'ouvreur ait cette main 3A 2R 2D 0V.

Idem pour les 200-300 mains possibles de l'ouvreur, et il ne reste plus qu'à cumuler toutes les probabilités conditionnelles, pour avoir la probabilité que le répondant ait x As et y Rois quand l'ouvreur a plus de p points. Vérification : le cumul sur x et y doit donner 100%...

Statistiques sur le nombre d'As et de Rois chez l'ouvreur

On lui suppose le cas intermédiaire, un 2K pas trop biscornu avec 22H et plus, ce qui a 0,4237% de chances d'arriver, une donne sur 236.

Le nombre d'As et de Rois obéit à la statistique suivante (dans chaque case, la probabilité conditionnelle après division par 0,4237%) :

0,4237% nombre de Rois chez l'ouvreur
22H et plus

0 1 2 3 4

100,00% 1,22% 15,97% 43,50% 32,53% 6,79%
nombre d'As 0 0,00%



0,00%
1 0,99%

0,00% 0,24% 0,75%
2 21,37%
0,03% 2,99% 13,41% 4,95%
3 56,65% 0,06% 5,75% 31,96% 17,82% 1,05%
4 20,98% 1,16% 10,18% 8,55% 1,05% 0,04%

L'ouvreur a pratiquement toujours au moins 2 As : 99% ; mais il y a seulement 83% de chances qu'il ait au moins deux Rois (les points sont "chers")

Il est très rare qu'il manque à la fois 2 As et 2 Rois : 3%

 

Le TOP25 des répartitions d'honneurs les plus fréquentes chez l'ouvreur de 2K

Toujours (arbitrairement) dans le cas à 22H+. Ces 25 cas parmi 253 représentent plus de 80% de la probabilité.

Les cas à 22H (juste le seuil choisi) sont en tête de liste, car il est plus fréquent d'avoir 22 que 23, 23 que 24 etc. Mais certaines configurations à 23 ou 24 peuvent être plus probables que d'autres à 22, quand elles sont basées sur plusieurs paires d'honneur : il y a par exemple 6 façons de choisir une paire d'As (ou Rois, ou Dames...) mais seulement 4 d'en choisir un seul ou trois, et évidemment une seule façon de choisir les 4 ou aucun.

En continuant dans le genre "probabilités inutiles" : on constate que les Valets ont assez peu de chances de se retrouver dans une main de 2K, les As et les Rois ont déjà pris toute la place ! 4% de chances d'avoir un brelan de Valets quand on ouvre de 2K. Aucune répartition n'apparaît dans le Top25.

npts As Rois Dames Valets proba conditionnelle
22 3 2 2 0 10,4252%
22 2 3 2 1 8,0711%
22 3 2 1 2 8,0711%
23 3 2 2 1 8,0711%
22 3 3 0 1 4,6334%
23 3 3 1 0 4,6334%
22 4 1 1 1 4,6334%
22 3 1 3 1 3,5872%
24 3 3 1 1 3,5872%
22 2 2 3 2 1,8917%
23 2 3 2 2 1,8917%
24 3 2 2 2 1,8917%
22 4 2 0 0 1,8616%
22 2 4 1 0 1,7375%
23 4 1 2 0 1,7375%
23 4 2 0 1 1,7375%
24 4 2 1 0 1,7375%
23 2 3 3 0 1,3452%
23 2 4 1 1 1,3452%
24 3 2 3 0 1,3452%
23 3 3 0 2 1,3452%
25 3 3 2 0 1,3452%
23 4 1 1 2 1,3452%
24 4 1 2 1 1,3452%
25 4 2 1 1 1,3452%