BridgeMD

  • Augmenter la taille
  • Taille par défaut
  • Diminuer la taille

Probabilités inutiles

Les dénombrements et les probabilités servent au bridge, surtout pour les maniements de couleur, pour savoir quelle carte passer, ou encore pour des choix stratégiques... On en reparle souvent sur ce site, c'est super important et intéressant.

On peut aussi calculer beaucoup de choses qui ne servent à rien.

C'est un vrai régal, surtout pour les anciens matheux qui sont de médiocres bridgeurs Complice. Ce qui suit n'est donc pas du bridge, mais un "produit dérivé".

Par exemple, le nombre de mains différentes (choisir 13 cartes parmi 52) que vous pouvez avoir est 635 milliards, ou plus exactement :

635 013 559 600

Le nombre de donnes de bridge différentes est beaucoup plus élevé, car les 39 cartes que vous n'avez pas peuvent être chez n'importe lequel des trois autres joueurs, ce qui multiplie les possibilités par rapport aux 635 milliards. Le résultat est environ 53 milliards de milliards de milliards, beaucoup plus que les célèbres sabords du capitaine Haddock. Amusez-vous comme moi à le calculer avec tous les chiffres, c'est encore plus inutile :

53 644 737 765 488 792 839 237 440 000

Donc quand même... quand on dit qu'il n'y a jamais deux donnes pareilles, c'est assez vrai.

Les mains mythiques : l'unicolore de 13 cartes, ou le "carton plein" à 37 points !

Une main au hasard parmi les 635 milliards possibles ne tombe en moyenne en France que tous les 1200 ans. On suppose ici qu'il y a 100 000 bridgeurs (pessimiste : il y a aussi les joueurs de salon mais ils ne jouent pas beaucoup), et qu'ils jouent chacun 5 000 donnes par an (optimiste : ce serait 3 ou 4 tournois par semaine plus de la compétition). Bref, 500 millions de "mains" sont distribuées par an.

C'est vrai pour une main aussi banale que : ♣ DV76 ♦ R843 ♥ R98 ♠ V5
C'est vrai aussi pour : ♣ ARDVX98765432 ♦ - ♥ - ♠ - ou pour n'importe laquelle parmi les 635 milliards.

Et pourtant il y a des gens qui affirment avoir vu une main avec les 13 piques (ou autres). Comme il y en a quatre possibles (la couleur est ♣ ou ♦ ou ♥ ou ♠), cela se produit en France tous les 300 ans si les cartes ont été bien battues.

C'est exactement la même probabilité pour la main maximale à 37 points d'honneur (tous les as, les rois, les dames et un valet, 4 mains possibles suivant la couleur du valet) : une fois tous les quelques siècles en France. 4 mains possibles sur 635 milliards. Celles-là, on en entend moins parler.

Certains prétendent même avoir vu, ou connaître quelqu'un qui avait vu, une donne où chacun des joueurs avait une couleur de 13 cartes... Ce sont des imposteurs ou des naïfs : il y a 24 possibilités à diviser par le grand nombre rouge qui commence par 53 suivi de 27 chiffres. Le 24 vient du nombre de façons de choisir la couleur qui sera en Nord, en Sud... C'est pratiquement impossible, même si toute l'humanité bridgeait 24 heures par jour depuis la création de l'Univers, et les extraterrestres aussi. Mais ce n'est pas rigoureusement impossible !

Combien de fois aurez-vous une distribution étonnante ?

A peine plus utile, mais par curiosité, on peut calculer la probabilité de recevoir un type de distribution (par exemple un banal 5-3-3-2 ou un sympathique 7-6-0-0) parmi les 39 types de main possibles. Le nombre de fois par semaine et par an est un ordre de grandeur, toujours sur la base de 50 semaines à 100 donnes. La notation scientifique est utilisée pour les très petits nombres, par exemple 1,09605E-05 signifie 1,09605 fois 10 à la puissance -5 ou encore 1,09605 divisé par 100 000.

 

Il est peut-être "moins inutile" de grouper certains cas, par exemple tous ceux à 9 cartes. Ou encore toutes les distributions avec une chicane.

Le début du tableau concerne les unicolores très longs. Peut-être avez-vous eu la chance de recevoir une couleur de 10 cartes ? Cela vous arrivera environ tous les 10 à 20 ans, 4 fois plus souvent si cette distribution est rencontrée à la table. Vous ne verrez sans doute jamais une couleur onzième. Alors qu'une couleur de 7 cartes vous est distribuée en moyenne à chaque tournoi.

La suite concerne les couleurs courtes (rappel du jargon bridgesque : une chicane = aucune carte dans une couleur, un singleton = une seule carte, un doubleton = deux cartes, et le triton inventé pour la circonstance c'est trois cartes et je trouve plus sympathique que "tripleton"). "1+" signifie "au moins 1".

Une chicane, c'est 5% (en regroupant les cas avec et sans singleton), donc un peu plus d'une fois par tournoi.
Un singleton, c'est toutes les 3 donnes.
Et on reçoit tous les deux ans, une donne sur 10 176, un superbicolore avec deux "chicanes" (ceci inclut aussi des superunicolores du genre 10 3 0 0 mais ils sont bien moins probables que des bicolores 7 6 ou 8 5 qui à eux deux constituent l'essentiel de la probabilité).

 

Probabilité du nombre de points d'honneur

Le nombre de points varie de 0 à 37. La main blanche avec zéro point arrive relativement souvent, une fois sur 275. On a l'impression que c'est plus souvent que cela, mais c'est une fois tous les 10 tournois environ. Il n'est cependant pas aberrant que cela vous arrive deux fois dans le même tournoi.

La main maximale a été évoquée plus haut, elle est exceptionnelle puisqu'elle vous l'aurez en moyenne toutes les 31 millions d'années en jouant 5000 donnes par an.

Le cas le plus probable est d'avoir 10H, ce qui est assez logique. Ce qui l'est moins est que c'est presque la même probabilité que d'avoir 9H.

Chaque point supplémentaire devient très "cher" quand il y en a beaucoup : en bas de la zone forcing manche, vers 23H, la probabilité est divisée par 2 pour chaque point en plus. Vers 30H, elle est divisée par 3.

Et même dans des zones plus fréquentes : on sait que 1SA c'est 15 ou 16 ou 17H en principe. Mais 17 est presque deux fois moins probable que 15.
De même l'ouverture de 2SA c'est en principe 20 ou 21. En pratique ce sera beaucoup plus souvent 20,

Voici le tableau complet des probabilités et de leur cumul. Les cases bleutées correspondant à des cas très rares et leur probabilité doit être divisée par un million.

Probabilité du nombre de points d'honneur dans la diagonale

Le même calcul peut être fait en raisonnant sur les 26 cartes NS (ou EW). La courbe est évidemment symétrique, car si les NS ont p points, les EW en ont 40-p.

On constate que les valeurs extrêmes sont rares, mais un peu mois que pour les probabilités avec une seule main.

Plus de 33H ou 37H dans la ligne, valeurs généralement admises pour un petit ou grand chelem à sans atout, c'est environ une chance sur 300 et une chance sur 10000.

Lien entre type de distribution et nombre de points

Ces deux notions ne sont pas indépendantes. Pour prendre un exemple extrême, si on a une main 13-0-0-0, on n'aura forcément que 10H (ce qui n'empêchera pas de déclarer 7 quelque chose).

Il est possible de raffiner le calcul de probabilité des points H dans une main en le faisant pour chacun des 39 types de distribution possibles. On constate alors que

  • la moyenne est toujours de 10H ;
  • l'écart-type, qui caractérise la dispersion autour de la moyenne, est effectivement d'autant plus faible que la main est "distribuée" ; il vaut 4,130 toutes distributions confondues, mais 4,245 pour un 4333 (c'est le maximum) et plus que 4,130 pour les distributions régulières ouvrables de 1SA (sauf le 6322 à 4,073) ; inversement les rares unicolores et bicolores auront un écart-type plus faible, par exemple 3,705 pour un 6610, et 0 pour le 13000 bien sûr puisque l'on est toujours à 10H ;
  • la probabilité d'avoir un nombre de points dans une plage loin de la moyenne est affectée par cette modulation de l'écart-type. Par exemple la zone 15-17 : toutes distributions confondues, on a une probabilité de 10,10%, mais ce sera plutôt 10,3 ou 10,2 pour les distributions de type SA. Pour la zone 24+, l'effet est encore plus marqué, 0,10% toutes distributions confondues, mais 0,11 à 0,14 pour les distributions régulières, et par exemple 0,033 pour le 6610.

Globalement le lien entre points et distribution est faible, il n'est pas stupide de considérer que ces notions sont indépendantes et donc que proba (ouverture 1SA) = proba (distribution de type 1SA) * proba (15-17) ; le résultat sera pessimiste de moins de 2%. Pour le 2SA 20-21, ce serait moins vrai, près de 10%.

retour...