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Assurer un de chute ?

Tiens, un petit peu de "théorie des jeux"...

A l'occasion d'un problème, on analyse une situation qui se produit assez souvent : faut-il tout tenter pour réussir son contrat ou assurer une levée de chute pour ne pas en faire deux ?... D'autres situations, en duplicate ou par paires sont aussi étudiées.

 

Le problème

Je tombe sur un problème de M. Lebel (Le Point, 10 janvier 2013) où, à 3SA, on aurait envie de se précipiter sur l'affranchissement de notre couleur 5è où il manque AR, mais pour cela les adversaires vont d'abord affranchir leur couleur 5è, ce qui nous condamne à un de chute.

La solution ne prend que quelques secondes à la vue des deux jeux, c'est de tenter dans une autre couleur avec x x x / A D 10 x, à la fois la double impasse (R et V bien placés) et la répartition 3-3 , pour faire 4 levées dans cette couleur sans rendre la main. C'est rare, 9% dit Lebel, 7% en réalité, mais c'est mieux que 0%, quitte à chuter d'une de plus (trois levées dans la couleur d'entame, A et R dans notre couleur principale, et -au moins- une levée dans notre couleur secondaire).

Il vaut mieux jouer à 9% qu'à 0%. Ca vous paraît évident ? Dit comme ça, oui bien sûr.

Mais présenté autrement, vaut-il mieux faire deux de chute à 91% ou une de chute à 100% ? On va voir que ça mérite discussion.

Et si c'était un pour mille de chances de gagner et 999/1000 de chuter de deux levées, vous préférerez je pense assurer la chute d'une seule levée... On sent qu'il y a quelque part un "seuil de décision". Quel est-il ?

En fait la répartition 3-3 est à 35,5%, et sur les Combin(6,3)=20 cas de répartition possible des 6 cartes, seuls 4 sont favorables puisqu'il faut R et V bien placés, accompagnés de n'importe laquelle des 4 petites cartes. Donc 4/20 de 35,5% = 7,1% ce qui est un peu moins que 9. Dire que c'est 9% est une approximation trop rapide : "un quart de chances d'avoir R et V tous deux du bon côté". C'est faux car si le R est bien placé, le V a moins de chances d'être avec lui (2 cases vacantes) qu'en face (3 cases vacantes). Donc 36% * 1/2 * 2/5 = 7,1% et pas 36%/4 = 9%.

Le débat n'est pas dans le 7 ou 9%. Mais, et cela revient assez souvent, faut-il assurer une levée de chute à 100% ou "tout tenter" pour réussir un contrat quitte à faire moins 2 ou pire. Nous allons voir que la réponse peut être très différente en duplicate et par paires, et suivant qu'il s'agit d'un contrat de manche ou d'une partielle.

Nota : un autre article "Duplicate et probabilités" analyse le seuil de décision en duplicate : faut-il demander ou pas une manche un peu tendue, ou un chelem... en faisant l"hypothèse que le jeu de la carte sera ensuite identique aux deux tables. Ici c'est la logique inverse, le même contrat est demandé, comment faut-il le jouer ?

Décision et "théorie des jeux"

Sortons un moment du bridge... Parieriez-vous 1000€ à une loterie où vous avez 7%, ou même 9%, de chances de gagner 2000€, et sinon de perdre votre enjeu ? Je pense que non. En tout cas, moi je vous laisse jouer mais je ne prends pas de billet. C'est pourtant la même situation, 7% de finir à +1000, 93% de finir à -1000, par rapport à une situation de référence à 0.

A la roulette, au casino, les joueurs qui jouent les chances simples (pair-impair, ou rouge-noir, ou passe-manque) ont 18 chances sur 37 de doubler leur mise. C'est presque équilibré, mais cela reste un mauvais pari. Evidemment, car le casino se rémunère en moyenne par le 1/37...

Il y a aussi le côté psychologique, mais seulement pour les gains très élevés à probabilité très faible. Le loto et autres euromillions ont beaucoup de clients parce qu'il est totalement indifférent et indolore de perdre quelques euros, par rapport à l'espoir de devenir très riche et changer de vie, même si "en moyenne" c'est un mauvais calcul. Un joueur de casino peut aussi vouloir se "refaire" en prenant des risques. Nous ne sommes pas du tout dans cette situation au bridge, les enjeux restant modestes et s'accompagnent de probabilités qui ne sont pas très proches de zéro.

Dans les exemples précédents, vous jouiez seul contre la machine, la décision est relativement simple à prendre, sur la base des probabilités et de "l'espérance mathématique de gain" ou gain moyen. Vous ne faites en principe un pari que si cette espérance est supérieure à la mise (donc vous ne jouez jamais au casino ni au loto !).

Aux courses c'est différent car vous pouvez avoir des "tuyaux" plus ou moins légitimes qui viennent donner un coup de pouce aux probabilités et vous placer dans une situation privilégiée par rapport aux autres parieurs.

Au bridge, il vous faut tenir compte aussi de la stratégie des autres joueurs. On est alors dans le domaine de la "théorie des jeux", qui malgré son nom a bien d'autres applications que les jeux : la stratégie militaire, l'économie...

Dans ce problème de bridge c'est : égal, -2 ou -1, avec une certaine probabilité de faire égal, sinon -2. Si vous pouvez assurer "moins 1", et qu'il existe une chance sur mille de faire "égal" et 999/1000 de faire "moins 2", sans doute ne tenterez-vous pas le diable...

On suppose dans la suite que la problématique est entre -1 à coup sûr, et 0 ou -2 mais pas d'autre possibilité.

Nota : dans le problème, il n'est pas exclu de chuter de 2 au lieu d'un avec la stratégie "perdante" si la couleur d'entame est répartie 6-3, ou avec la stratégie "gagnante" de chuter de 3 au lieu de 2 suivant la distribution et la défense. Ce n'est pas le sujet.

Où est le seuil de décision entre tenter une stratégie risquée, ou assurer la chute minimale ? Ce n'est pas si simple. Nous allons voir que cela peut dépendre :

  • du type de tournoi,
  • des enjeux : hauteur du contrat,
  • et du comportement supposé des autres joueurs.

Les enjeux, dans le cas d'une manche en duplicate

Les enjeux ne sont pas le nombre de levées faites, ni les scores, mais les points de match, IMP.

Vulnérable, réussir 3SA si les adversaires ont chuté de un vous rapporte 600+100 = 700, 12 IMP. Idem à 4C, 4P, 5T ou 5K. Alors que chuter de deux au lieu d'un vous coûte -100, 3 IMP.

La stratégie "offensive" (tenter le tout pour le tout) peut vous faire gagner 12 IMP mais vous en faire perdre 3. Mathématiquement, il faudrait donc l'adopter si les chances de gain sont meilleures que 3 / (3+12) = 20%. Cela se démontre facilement : si p est la probabilité de succès de la stratégie "risquée" vous gagnerez en moyenne 12*p - 3*(1-p) = 15*p - 3. Ce n'est que si p est supérieur au seuil de décision, 3/15 ici, que cette quantité est positive et qu'il faut adopter cette stratégie.

Bien sûr si vos adversaires à l'autre table font le même choix, ils marqueront le même score, la donne sera "payée". Mais s'ils se trompent de stratégie, vous marquerez en moyenne, valeur absolue de (15*p - 3) c'est-à-dire 15*p-3 si p>20% et que vous avez légitimement tenté, et pas eux, et -(15*p-3) si p<20% et que vous avez sagement assuré un de chute alors qu'ils ont pris un risque.

Et c'est "en moyenne" par rapport à la distribution des jeux adverses... La fois où la donne correspondra à la stratégie évaluée à moins de 20% vous regretterez d'avoir assuré un chute alors que "les autres" auront peut-être réussi, surtout s'ils sont des obsédés de la sécurité. C'est bien sûr le cas du problème ayant donné lieu à cet article.

Non vulnérable, le seuil est 2 / 12 = 17%.

L'adage "en duplicate, il faut tout tenter pour gagner son contrat" a quand même ses limites. Ici le risque de deux de chute, 7%, est très inférieur aux 20% ou 17%. Il faudrait assurer la levée de chute plutôt que de rechercher la répartition adverse R V x / x x x trop rare.

On pourrait calculer les seuils de décision dans d'autres situations : contrats contrés, chelems... Même sur un (rare) grand chelem non vulnérable, qui est je pense le cas extrême pour le seuil de décision, les résultats étant de 1510+50 (17 IMP) comparés à -100+50 (-2IMP), ce seuil de décision est à 2/19, un peu supérieur à 10%, et il ne faudrait pas prendre le risque dans le cas d'une ligne de jeu à 9% ou 7%...

Si le contrat est contré, surtout vulnérable, il faut -curieusement- être encore plus prudent. Par exemple 3PX vulnérable : réussis à notre table, chuté de un à l'autre table 830+200 = 14 IMP ou chutés de 2 à notre table, de un à l'autre table -500+200 = 7 IMP. Le seuil est à 33%. Attention, sur un tel contrat, il n'est pas du tout évident que le même soit joué à l'autre table. Si le contrat demandé à votre table est atypique, il faudrait sans doute raisonner par rapport au contrat "populaire", cela se complique mais reste calculable avec les scores et leur conversion en IMP, qui donne accès au seuil de décision.

Le comportement des autres joueurs

Vos adversaires ne sont pas des ordinateurs mais des joueurs de bridge acharnés qui vont probablement tenter la réussite du contrat, surtout en duplicate. D'autant plus que dans cet exemple, l'autre ligne de jeu est totalement vouée à l'échec. Il y aussi le côté psychologique : on est là pour gagner, non ?

Dans ce cas, faut-il encore considérer les 20% ou 17% comme seuil de décision, ou choisir un seuil "psychologique" bien plus faible ? Est-ce que cela reprend du sens de tenter la ligne de jeu qui peut gagner, bien qu'elle soit mathématiquement inférieure ?... Car très probablement les adversaires joueront comme vous, et ce sera une donne "payée", soit 600 (ou 400 si non vulnérable) aux deux tables, soit plus souvent -200 (ou -100) mais la même chose et donc 0 IMP.

Eh bien non. Mathématiquement, il ne faut pas s'écarter du seuil donné par les probabilités. Supposons que vos adversaires tentent toujours la ligne de jeu gagnante et que vous jouiez pour -1, les résultats (exemple 3SA avec manche à 7% dans le cas "vulnérable") seront :

  • dans 7% des cas, les adversaires marquent 600 alors que vous chutez de 100 : 12 pour eux.
  • dans 93% des cas, ils chutent de 200 et vous chutez de 100 : 3 pour vous.

En moyenne la stratégie "frileuse" d'assurer un de chute vous rapporte sur cette donne : 3*0,93 - 12*0,07 = 1,95, on va dire 2 IMP. Alors que si vous jouez comme eux et comme le grand maître Lebel, ce sera toujours une donne "payée".

Même pour une manche, assurer la chute... Ca interpelle, non ?

Sauf si c'est une donne préparée où vous pouvez être à peu près sûr que la seule ligne de jeu gagnante est effectivement gagnante. Mais alors elle n'est pas à 7% mais de fait au-dessus de 50% car les cartes n'ont pas été distribuées mais choisies à dessein.

Nota : on peut calculer (voir article "duplicate et probabilités") qu'en duplicate, il faut demander une manche vulnérable même si elle n'est qu'à 37%, donc être plus agressif que non vulnérable où c'est 45%. Le problème n'est pas le même, là c'était "empailler ou demander ?", ici c'est "chuter de 1 ou tenter avec risque de chuter de 2 ?". Les conclusions sont inversées, ici on pourrait être un peu plus agressif lorsque non vulnérable. C'est anecdotique, les probabilités sont très proches (17% et 20%).

En duplicate, pour une partielle

La conclusion est encore plus nette, car la prime de manche n'est plus là : par exemple 2SA réussis = 120 auxquels s'ajoutent 100 à l'autre table = 220 = 6 IMP. Mais si vous chutez de 2 au lieu de 1, vous perdez 3 IMP. Le seuil de décision est alors de 33%.

2SA Non vulnérable, 120+50 = 170 = 5 IMP, et 50 donc 2 IMP de perdus le plus souvent. Seuil de décision à 2 / 7 = 28%.

Les contrats partiels rapportent 70 à 140 et conduisent à des seuils : 40%NV 37%V dans le cas de 70, 33%NV 37%V dans le cas de 80 à 110, et 28%NV 33%V pour 120 à 140.

Pour une partielle, il faut encore plus assurer la levée de chute, sauf si la stratégie offensive parfois gagnante est à plus d'une chance sur 3 environ.

En s'écartant un peu du titre de l'article mais pas du sujet, voici d'autres situations plus intuitives sur la levée de mieux, toujours en duplicate :

  • Chercher la levée de mieux (avec le risque de chuter de un) par rapport à assurer la manche juste faite : il faudrait être fou... espoir de gain = 1 IMP, risque de perte 12 IMP si vulnérable, 10 si non vulnérable. Le seuil de décision est à 12/13 ou 10/11, soit 92% ou 91% autrement dit il faut que la levée de mieux qui risque de faire chuter soit quasiment assurée pour la tenter, le mieux est l'ennemi du bien, c'est connu.
  • Même situation pour une partielle, l'espoir de gain est 1 IMP, le risque est de 4 à 6 IMP, donc là aussi un seuil élevé : 80% à 86%. On s'abstiendra.

En tournoi par paires

Vous êtes classé par rapport aux autres paires de la même diagonale. On suppose que le même contrat est demandé à toutes les tables, sinon une analyse générale est impossible. Comment vont jouer les autres paires ?

On peut penser (dans l'exemple du 3SA à 7%) que :

  • les débutants vont se précipiter comme on leur a appris sur l'affranchissement de leur "couleur génératrice de levées", sans s'apercevoir qu'il est dans ce cas voué à l'échec ; ils seront toujours à -1 ;
  • les bons joueurs vont probablement voir et tenter la seule possibilité de réussite, et seront à = ou bien plus souvent à -2 ;
  • les matheux... seront très perplexes avant de choisir leur camp. Faut-il assurer la chute ? Tenter ? "Jouer le champ" c'est-à-dire comme la majorité des équipes, et ce champ quel est-il ?

Les matheux, s'ils raisonnent comme moi, forcément, vont supposer que les autres paires se divisent en deux camps, appelons-les les "bons" (qui tentent) avec un effectif P en pourcentage, et les "faibles" (qui assurent un de chute) avec un effectif de 1-P.

Dans 7% des cas, ce sont les "bons" qui se partageront le top. Le top plein à 100% suppose P très faible, une seule paire. Sinon il est partagé, sa valeur diminue. On peut calculer que les "bons" marqueront, s'il y a un grand nombre total de paires, (1-P/2)*100%, en effet le top plein est entre presque 100% s'ils sont très peu nombreux (P=0), et 50% : s'ils n'y a que des "bons" alors tout le monde est à la moyenne (P=1). Et comme la moyenne générale de la donne doit être 50%, on peut calculer que les "faibles" seront à (0,5-P/2)*100%, exactement 50% en dessous des bons quand il n'y a que deux notes, c'est curieusement indépendant de P. Par exemple s'il y a 1/4 de "bons" et que la distribution s'y prête, ils seront à 87,5%, et les faibles à 37,5%.

Mais dans les 93% d'autres cas, ce sont les "faibles" qui seront au top partagé, que l'on peut calculer à (0,5+P/2)*100%, dans cet exemple à 62,5% en ayant chuté d'une levée, devant les "bons" qui ne seront qu'à (P/2)*100% = 12,5% en ayant chuté de deux.

Les "bons" seront, en moyenne sur toutes les répartitions pour cette donne, à 0,07*(1-P/2)*100 + 0,93*(P/2)*100% = 7% + P*43%. C'est-à-dire toujours en dessous de la moyenne, car P est entre 0 et 1. Ils n'auront la moyenne que si P=1, toutes les paires jouent pareil et sont à 50% quelle que soit la distribution.

Les faibles seront à 0,07*(0,5-P/2)*100%+0,93*(0,5+P/2)*100% = 50% + P*43%. C'est-à-dire toujours au-dessus de la moyenne, entre 93% si les "faibles" sont très peu nombreux (P=1), et 50% s'il n'y a que des faibles (P=0).

Quelle que soit la répartition en nombre de "bons" et en nombre de "faibles", ces derniers seront en moyenne sensiblement mieux classés sur cette donne, 43% d'écart quand même sur cette donne, cela fait presque 2% sur un tournoi de régularité... Qui sont les bons, qui sont les faibles ? on se met à douter...

Vérification : le score moyen sur cette donne, en moyenne sur les distributions et aussi sur les équipes de bons et de faibles, est bien de
P*(0,07+0,43*P)+(1-P)*(0,50+0,43*P) = P*(0,07+0,43P-0,50-0,43P)+0,50+0,43P = 0,50, ouf...

Donc en se mettant résolument dans les faibles, le matheux assurera un de chute... Et si la population comporte autant de "bons" que de "faibles", P=0,5, il sera à 71,5% sur cette donne, les "bons" seront à 28,5%. S'il y a 3/4 de "bons", il sera à 82,2% en jouant comme les "faibles", car les "bons" ne seront qu'à 39,2%. Cela peut paraître paradoxal : plus il y a de bons, et plus les faibles font un bon score.

Si ce n'était pas 7% mais X%, on calculerait que les "bons" sont à X% + P*(50-X)% : entre X% et 50%
A X=40%, mêmes conclusions, les "bons" seront sur cette donne entre 40% et 50%, derrière les "faibles" qui sont entre 50% et 60%.

Ce n'est que si les chances de réussite X sont supérieures à 50% qu'il faudrait choisir la ligne de jeu gagnante, alors les chances de gain font plus que compenser le risque de deux de chute en cas d'échec.

Il semble bien qu'en TPP il faut assurer moins un, plutôt que de tenter un contrat à moins de 50% sinon subir deux de chute.

Et ceci quelle que soit la stratégie aux autres tables, ce qui ne semblait pas du tout évident. On entend parfois dire qu'il "fallait jouer le champ". Là non.

Tout ceci est évidemment en moyenne sur toutes les distributions. Une fois sur 14, le jour où la couleur sera effectivement répartie R V x / x x x, les "bons" seront bien classés, il y a quand même une justice. Avec encore la même remarque : attention, en donnes préparées, les probabilités de répartition ne sont pas celles issues de la théorie classique des dénombrements. Il y a gros à parier que dans un simultané avec cette donne, la couleur secondaire sera bien répartie R V X / x x x. Sinon, ce ne serait pas drôle !

Nota pour les puristes : le calcul est fait en supposant un grand nombre de paires, ceci permet de n'avoir qu'un paramètre P au lieu de deux. Sinon les chiffres sont très légèrement différents mais la conclusion est identique, et même renforcée. Par exemple avec 11 paires, l'écart entre ceux qui ont fait le "bon choix" et les autres n'est plus de 50% mais 55%. Si B est le nombre de ceux qui ont fait le bon choix (B>0) et M ceux qui ont fait le mauvais choix (M>0), alors le score marqué est (2 - (B-1)/(B+M-1))*50% pour les B et 50*(M-1)/(B+M-1) pour les M. L'écart B-M est de (1+1/(B+M-1))*50% et ne dépend que du nombre de tables.

En conclusion

En TPP et même en duplicate, il faudrait assurer moins 1 plutôt que tenter de réussir un contrat "risqué" conduisant à moins 2.

Risqué signifiant à moins de 50% de réussite en TPP, et en duplicate moins de 20% environ pour une manche et 30% pour une partielle. Intuitivement j'aurais mis la barre beaucoup plus basse.

Je ne suis donc pas d'accord avec Michel Lebel. Ca ne m'empêchera pas de dormir, et lui non plus.

Mais ça m'embête un petit peu, parce que c'est lui le champion, et aussi parce qu'intuitivement j'aurais joué comme il le dit. En effet c'est bien triste d'assurer une chute de chute alors qu'on a une petite chance de gagner. Et puis on aura l'air moins ridicule en chutant souvent de 2 après avoir tout tenté, qu'en chutant la fois où on aurait pu gagner... Pourtant le calcul doit être correct. Désaccord entre les deux hémisphères du cerveau ?...

Tenter le contrat risqué relève de l'irrationnel, soit l'acharnement à réussir un contrat très tendu, soit la crainte de passer pour un nul si jamais le succès était au rendez-vous !

Plus généralement en TPP... Le résultat ne fait appel qu'au classement des scores, et leur fréquence, pas à leur valeur. L'analyse et la conclusion sont donc les mêmes dans les 3 situations suivantes, et sont indépendantes du niveau du contrat, pourvu qu'on soit dans la situation, un peu théorique, où le même contrat est demandé à toutes les tables :

  • on peut assurer -1, ou tenter = en risquant -2, comme dans le problème objet de cette analyse ;
  • on peut assurer son contrat juste fait, ou tenter +1 en risquant de chuter de 1 ;
  • ou encore où l'on peut assurer +1, ou tenter +2 en risquant de faire seulement égal.

Pourtant il paraît probable que l'on prendra moins de risques dans ce dernier cas, pour seulement chercher du mieux, en TPP ce serait une erreur, il faut en prendre autant et le seuil de décision est toujours à 50%. En duplicate, on a vu que ce seuil varie beaucoup avec la situation, dans le premier cas autour de 20% pour une manche, 30% à 40% pour une partielle. dans le second cas environ 90% (à éviter, surtout pour une manche !), et dans le troisième cas 50% comme en TPP mais sans trop d'intérêt car cela ne déplacera qu'un IMP.

Le tableau ci-dessous indique les seuils de décision, c'est-à-dire le minimum de la probabilité de la stratégie gagnante à partir de laquelle il sera intéressant de l'adopter (le calcul n'a pas été fait pour les contrats contrés, car il n'est pas du tout évident que le contre aura lieu à toutes les tables). En TPP, on suppose que toutes les paires ont demandé le même contrat, et qu'il n'y a que deux résultats possibles.

On peut vérifier ce que tout le monde sait, au moins de manière qualitative : en duplicate il faut prendre des risques pour réussir son contrat (mais pas n'importe quel risque... attention aux jeux de sécurité trop brillants) et ne pas chercher la levée de mieux si cela peut vous faire chuter.

La stratégie de la défense n'a pas été abordée, avec cette fois la problématique : tenter de faire chuter avec le fort risque de livrer un de mieux, ou assurer le juste fait. En fait les résultats étaient déjà dans le tableau, il suffit de regarder les lignes "tenter +1 en risquant -1 ou bien assurer =" et de faire 100%-la probabilité indiquée. Il faut donc dans cette situation être TRES agressif, les seuils de décision sont seulement de 8% pour une manche, et 14% à 20% pour une partielle. Dans la même logique, la "gourmandise" du flanc : tenter -2 en risquant de livrer le contrat adverse, par rapport à assurer la levée de chute se justifie à partir d'un seuil de décision, en duplicate, d'environ 80% dans le cas d'une manche (à éviter, donc) et un peu moins pour une partielle (60% à 72% suivant vulnérabilité).

Code des couleurs : vert on y va résolument, vert pâle on y va peut-être et après réflexion, blanc = 50/50, orange on n'y va pas sauf avec de solides arguments, rouge on n'y va pas.

Niveau Situation
Duplicate Par paires
Manche

tenter = en risquant -2
ou bien assurer -1

20% (V)
17% (NV)
50%
Partielle idem 33 à 37% (V)
28 à 40% (NV)
50%
Manche tenter +1 en risquant -1
ou bien assurer =
91 ou 92% 50%
Partielle idem 80% à 86% 50%
Tous contrats tenter +2 en risquant =
ou bien assurer +1
50%
et sans intérêt
50%
En flanc contre
une manche
tenter -1 en risquant +1
ou bien assurer =
9% ou 8% 50%
En flanc contre
une partielle
idem 14% à 20% 50%
En flanc contre
une manche
tenter -2 en risquant =
ou bien assurer -1
80 à 83% 50%
En flanc contre
une partielle
idem 60 à 72% 50%

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