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Cumul des chances

Incroyable... Pour la première fois en presque trois ans, un lecteur m'a contacté par mail pour demander un renseignement. Cela concernait le calcul des chances cumulées de réussir son contrat. Assez souvent dans les problèmes, la solution est de commencer par tester une configuration et si cela ne fonctionne pas, se rabattre sur la ligne de jeu plus intuitive (qui évidemment ne fonctionne pas, sinon ce ne serait pas drôle). Comment calculer les probabilités de succès dans ces situations ?

Le sujet était rapidement abordé sur ce site, avec deux exemples, dans un article sur les notions de base des probabilités. On y montre une donne où il y a trois chances cumulées, ce qui n'est pas si fréquent.

Voici une approche un peu plus exhaustive du sujet. Sachant qu'il y a énormément de cas de figure, nous verrons surtout les plus simples, et terminerons sur un exemple plus complexe.

 

Pour faire le calcul il faut disposer de deux éléments :

D'abord, une estimation des probas des "chances" élémentaires

On appelle ici chance un événement favorable qui pourra se produire avec une certaine probabilité de succès. C'est le cumul des chances (ou plutôt leur combinaison car s'il y en a plus de deux, ce n'est pas toujours un simple cumul) qui donnera la probabilité de succès du contrat.

Il peut s'agir de répartitions favorables, de la réussite de maniements simples type impasse au R ou D, ou encore d'espérer voir tomber un honneur adverse, ou encore du succès de maniements plus difficiles avec deux honneurs manquants...

  • Pour les répartitions, les probabilités sont rappelées ici. Il faut connaître celles qui servent le plus : 36% pour une répartition 3-3, 68% pour le total d'un 3-2 et 2-3, 40% pour un 2-2.
  • Une impasse au Roi c'est facile, 50%.
  • Capturer la Dame c'est un peu plus car on peut commencer par un coup de sonde mais ça reste 52% si on a 8 cartes, à peine plus si on en a 9 (58%), ce n'est qu'à 10 cartes que ça s'améliore vraiment et c'est presque à coup sûr (89%).
  • S'il manque R et D, et si la "chance" est de ne perdre qu'une levée, elle est à environ 75%.

Mais il y a bien d'autres cas :

  • A R D en face de 10 x x x : on joue ARD en espérant la chute du V. C'est à 54%.
  • A R x en face de V x x x : on joue AR en espérant la chute de la Dame, puis x vers V, on fait 3 levées à 77% (jamais 4, car même si la Dame tombe le 10 se fera, et si D 10 tombent, c'est le 9 qui se fera !). Suivant la répartition, les 3 levées peuvent être faites sans rendre la main ou en général après avoir concédé la Dame.
  • A R en face de V x x x  : à la couleur, on joue A R et x coupé (ou perdante sur perdante) en espérant la D troisième au pire. 36% de chances d'affranchir le Valet. A sans atout, s'il faut espérer la dame sèche ou seconde ou troisième, ce sont les mêmes 36% de faire une troisième levée avec le Valet. Mais si l'on tombe sur un cas désagréable, D cinquième, on pourra perdre trois levées ! Si la chance est de voir la Dame sèche ou seconde pour affranchir le Valet sans perdre la main, on est à peine à 10%.

Et bien d'autres configurations possibles...

Ensuite, les règles de cumul pour calculer comment se combinent les deux chances A et B, voire C s'il y a trois chances
.

Ces règles sont une application directe des probabilités : multiplication pour le "ET", addition pour le "OU" entre deux chances qui s'excluent mutuellement.

On suppose toujours des "chances" indépendantes en probabilité, d'une part parce que le calcul exact est monstrueux, d'autre part parce que la répartition dans une couleur affecte pas ou très peu celles des autres couleurs. L'approximation est donc en général très satisfaisante.

Quels sont les cas de cumul ? En voici 5 qui doivent être les principaux. Nous allons calculer la probabilité (P) de succès du contrat en fonction des chances élémentaires.

Les cas avec deux chances

1) s'il faut que deux conditions soient remplies pour réussir le contrat.
Si les probas des deux chances sont A et B, on réussit avec une proba P = A*B. Par exemple un chelem avec un as dehors et deux rois dans d'autres couleurs. Il faut que les deux rois soient bien placés, donc chelem à une chance sur 4 (en admettant que l'on a toutes les reprises de main, toutes les intermédiaires...)

2) s'il suffit que l'une ou l'autre des conditions soit remplie.
Dans ce cas si les probas de l'une et l'autre des chances sont A et B, on réussit avec une proba P telle que 1-P = (1-A)*(1-B)  c'est-à-dire qu'on chute (1-P) si tout rate : à la fois (1-A) et (1-B). Par exemple pour un chelem en ayant tous les as mais deux rois manquants : il est à 75% car ne va rater que si les deux rois sont mal placés.

Autre exemple si on réussit le contrat soit avec une répartition 3-3 d'une couleur chez les adversaires, soit avec une impasse, on a A = 36% pour la répartition favorable en 3-3, et B = 50% pour une impasse. Alors 1-P = (1-0,36)*(1-0,5)= 0,64*0,5 = 0,32. Donc P = 0,68 : le cumul des chances permet un très bon contrat ! On peut aussi calculer par P=A+B-AB (l'un ou l'autre et correction -AB car le cas sympathique des deux à la fois a été compté en double) ce qui donne bien aussi 0,5+0,36-0,18 = 0,68

Il serait grossièrement faux d'ajouter A et B pour un résultat de 0,86, car A et B ne s'excluent pas mutuellement. S'ils sont indépendants, le cas A et B existe, et il a 18% de chances dans cet exemple.

(pour mémoire) le contrat gagne si l'on a A ou bien B, mais pas les deux en même temps. C'est le "ou exclusif" qui paraît plus mathématique que réel, car si A et B pris indépendamment sont favorables on ne voit pas pourquoi les deux ensemble ne le seraient pas. C'est indiqué ici parce que c'est le seul autre cas de combinaison de deux chances. On aurait alors P=A+B-2*AB

Des cas avec 3 chances

C'est moins fréquent dans la vraie vie et plus difficile à calculer, surtout à la table. Il peut y avoir plusieurs façons de combiner les chances. Voici un exemple simple transmis par un lecteur, tiré d'un livre américain. Il manque la DP, le RK et le RT.

♠ A V 9 8 4
R D 10 4
A D
A D

♠ R 10 7 6 2
A V 9 3
8 7
9 2

Peu importe les enchères, c'est Ouest qui joue un contrat à P ou SA, sur entame à Coeur qui ne donne rien. Il y a 10 levées évidentes même si les trois cartes sont toutes mal placées, il peut y en avoir 11, 12 ou 13 par cumul de chances.

Ce cas se subdivise en trois, suivant le contrat demandé :

3) s'il suffit d'une seule chance sur 3 pour gagner, évidemment on gagne aussi avec 2 ou 3 chances. Vous vous êtes timidement arrêtés au palier de 5... Là c'est assez facile à calculer, voir calcul dans le premier article indiqué plus haut. C'est très favorable puisqu'il suffit d'une chance pour gagner. Le calcul est une variante du (2), on ne perd que si tout rate. Donc 1-P = (1-A)*(1-B)*(1-C). Ici 1-A=0,11 (DP troisième mal placée), les autres à 50% bien sûr, donc 1-P = 2,75%, c'est la probabilité de ne faire que 10 levées. Vous réussirez votre contrat de 5 à 97,25%

4) si on gagne avec deux des chances sur 3, calcul plus difficile, si ABC sont les chances élémentaires, alors le résultat est P = AB+BC+CA-2*ABC   (le -2ABC car on a déjà compté trois fois les cas où tout marche, c'est deux fois de trop)
Par exemple avec 3 impasses, s'il faut en réussir deux pour gagner le contrat, cela donnera 3*0,25-2*0,125= 0,5 Le contrat est à une chance sur deux comme s'il n'y avait qu'une seule impasse.
Dans l'exemple donné, vous avez demandé le bon contrat, petit chelem. Il faut trouver deux cartes sur les trois. avec les valeurs de A, B et C, on trouve P = 69,5%

5) si pour gagner il faut avoir à la fois les 3 chances, c'est mal parti... Calcul simple P = A*B*C, donc faible car les ABC sont <1. Par exemple s'il s'agit d'impasses on sera autour de 1/8. Dans l'exemple, si un jour d'optimisme vous avez demandé le grand chelem avec seulement 30H, il est à 22,25%

Avec 3 chances, on pourrait imaginer d'autres cas de cumul, non symétriques entre les trois chances :
- par exemple, le contrat gagne si l'on a A ainsi que au moins l'un parmi B et C. Alors P=A*(B+C-BC)
- ou bien si l'on réussit A ou à la fois B et C. Alors P=A+BC-ABC  (il manquerait deux levées qui peuvent venir d'un affranchissement magique de la couleur correspondant à A ; sinon il faudra réussir deux impasses dans d'autres couleurs...)

Un exemple plus complexe

Il se peut aussi que le calcul se complique parce que dans une couleur, l'événement n'est pas "binaire" mais ternaire (ou plus) : il y a trois possibilités. Voyons cela sur un exemple, avec une telle couleur, et des possibilités qui se combinent dans deux autres couleurs.


♠ 4 3
A D 8 2
♦ D 7 3
A D 8 7





♠ 



♠ A D 6 5
6 4
A R 5
10 9 3 2


Nord donneur ouvre bien sûr de 1T ce jeu régulier de 14H. Il entend 1P et dit 1SA. Avec 13H Sud met 3SA, le compte y est, il y a 25-27H dans la ligne.

Disons entame K qui ne donne rien. Nord se retrouve à la tête de 27H. En comptant les levées, il en voit :

  • 2 ou 3 ou 4 à T où il manque R et V. Il y aura 4 levées à 24% si les deux sont en W, 2 à 24% si les deux sont en E, et 3 à 52% s'ils sont partagés. C'est 24% et pas 25% par effet de "cases vacantes".
  • 3 à K
  • 1 ou 2 à C suivant la position du Roi, donc à 50%. Pour les puristes, on peut très légèrement améliorer ses chances en tirant d'abord l'As, ou bien par un coup à blanc, pour le cas du Roi sec mal placé. Le calcul donne 50,48%. Considérons que c'est 50%.
  • idem à P.

Donc un nombre de levées qui va, avec ces 27H, de 11 (scénario "conte de fée") à 7, deux de chute (film catastrophe). Il faut bien sûr commencer par tester les T, couleur génératrice de levées, avant de tenter les impasses en majeures. Essayons de mettre un peu de probabilités là-dessus...

Le conte de fées : 11 levées si les 4 cartes sont bien placées, quasiment une chance sur 16, un tout petit peu moins : 0,24*0,25 = 6%.
Le film catastrophe, 7 levées, avec la même probabilité puisqu'il suffit d'échanger les jeux adverses.
Le succès du contrat : 9 ou 10 ou 11 levées. Pour répertorier tous les cas, on s'intéresse d'abord au sort des trèfles et on détermine les chances qu'il faut atteindre dans les majeures :

  • Répartition idéale des trèfles : 24%. Dans ce cas il n'est pas nécessaire de tenter les impasses en majeures. On va le faire pour chercher du "mieux" mais le contrat est assuré.
  • Honneurs adverses partagés à T : 52%. Il faut alors réussir au moins une impasse majeure sur deux. Le calcul a été fait plus haut (cas 2) et donne bien sûr 75% qu'il faut multiplier par les 52% des honneurs T partagés car c'est une relation de type "ET", et ce qui se passe à T et en majeures est indépendant.
  • Honneurs adverses à T tous deux mal placés : 24%. Il faut alors trouver les deux Rois majeurs bien placés, ce qui se produira à 25%, à multiplier là aussi par les 24% des T.

Les trois cas concernant les T s'excluent mutuellement, on peut donc ajouter leurs probabilités.

Au total : 0,24 + 0,52*0,75 + 0,24*0,25 = 69% de chances de réussir ce contrat. Et donc 31% de le chuter.

On pourrait calculer avec les mêmes méthodes la probabilité de faire exactement 8, 9 ou 10 levées. Celle de faire 8 levées a été indirectement calculée : 31% de chuter, dont 6% de chuter de deux, donc 25% de chuter d'une levée avec ce beau jeu de 27H.

Il ne vous reste plus qu'à faire le calcul pour exactement 9 ou 10 levées. Vous devriez trouver 0,38 et 0,25.

En pratique

Tous ces calculs peuvent difficilement être faits à la table. Ce n'est sans doute pas très important, car ils ne sont pas réellement utiles...

Ce qui est plus important est de repérer une possibilité de cumul de chances et de l'exploiter (et dans le bon ordre) plutôt que de se précipiter sur une ligne de jeu évidente. On doit rarement -j'imagine- être confronté au choix entre une ligne de jeu avec chance unique, gain à proba A, et une autre avec cumul de chances entre B et C qui conduirait à comparer A et B+C-BC

Voici un exemple d'une telle situation, problème du Point, 3 janvier 2013. Sud joue 6P sur entame atout. 11 levées évidentes, la douzième viendra de l'affranchissement des trèfles ou de l'impasse coeur. Il y a un problème de communication vers le mort, avec seulement le RK comme remontée, et la ligne de jeu évidente semble être : purge des atouts, A et RT, T coupé, remontée au mort au RK, et si les T étaient sympathiques, deux sont maîtres et on marque 6P+1, sinon on tente l'impasse C. Cette ligne est à 68% car elle chute si les T ne sont pas 3-3 (64%) et si l'impasse au RC rate (50%) donc 0,64*0,5 = 0,32 de probabilité de chute. Mais il y a mieux... Un coup à blanc à T, si retour C prendre de l'As sans impasse (sauf évidemment si c'est W qui a pris la main à T), puis T pour A et R (défausse K), T coupé, et remontée au mort au RK pour encaisser le 5ème T affranchi, sauf cas rare d'une répartition inverse 5-1. Cette ligne sans cumul de chances est à 84%. Commentaire personnel : à noter que sur entame K et retour K elle ne fonctionne pas, la remontée au mort est consommée trop tôt... Imaginez que W ait D V 10 de K, V 10 de T et le RC, c'est sûrement ce qui va se passer, il prend le coup à blanc à T et rejoue K.


6 5 3
8 4
R 7 2
A R 8 6 5





♠ 



A R D 10 9 7
A D
A 9 6
7 3


Dans les cas les plus fréquents, ce qui est évident est que le cumul des chances de A et B est TOUJOURS préférable à A seul ou B seul. Monsieur de la Palisse n'aurait pas dit mieux.

C'est ainsi que dans certains problèmes, on joue brillamment son As au cas où le Roi adverse serait sec. Cela n'arrivera presque jamais (2,4% si vous avez 7 cartes, 5,6% si vous en avez 8...) mais si on peut les cumuler avec une autre chance, il serait dommage de s'en priver... Ceci dit...

Effets pervers

Il se peut que le cumul ne coûte rien et n'ait que des effets positifs.

Mais il peut arriver que le cumul des chances, quand malgré tout il ne vous permet pas de réussir votre contrat, vous fasse chuter d'une levée de plus que si vous aviez joué (moins bien) sans tenter le cumul. En duplicate cela n'a pas trop d'importance, en tournoi par paires c'est moins évident si le cumul de chances est très acrobatique. Ce discours est trop qualitatif... Il faudra le montrer sur un exemple. Ca viendra.

Tous vos adversaires vont tenter leur contrat sur le plan B, une impasse à 50%. Ca passe (égal) ou ça casse (-1). Mais vous, vous avez vu qu'il y a une possibilité de cumul de chances, plan A à 5% qui vous donne 2,5% de chances supplémentaires quand il permet de ne pas tenter l'impasse B. Mais si rien ne marche, vous allez chuter de deux (c'est une supposition). Il y a quatre cas de figure sur l'ensemble des distributions possibles :

cas probabilité les autres vous
A et B marchent 2,5% = = donc la moyenne
peut-être même +1, le top
A marche, B rate
2,5% -1 = donc le top
A rate, B marche 47,5% = = donc la moyenne
A et B ratent 47,5% -1 -2 donc la bulle

Attention, si vraiment la tentative (A) risque de vous faire chuter de 2 au lieu de 1, est-il forcément rentable de risquer une bulle à près de 50% ("Tiens, Untel est le seul à chuter de deux, cela ne lui ressemble pas...") contre un top à 5% ("Trop fort, ce Untel", ou alors "on a dû lui refiler ce contrat infaisable") ? Le choix pourrait dépendre de ce que feront vos adversaires. On est alors dans le domaine dit de la théorie des jeux.

Attention aussi, si c'est un simultané ou généralement un tournoi à donnes préparées, il se peut que la distribution soit comme par hasard celle qui nécessite le brillant cumul de chances, pour que la donne soit un peu sélective. Mais alors les probabilités ne sont plus celles, théoriques, de la deuxième colonne. Le 2,5% de la deuxième ligne est certainement plus fort.

En l'absence d'indications "stratégiques" (type de tournoi, niveau des adversaires) et si effectivement il y a un risque de chute supplémentaire, que faut-il faire ? Pas d'idée là-dessus. Sans doute faut-il essayer de faire son contrat et donc de cumuler les chances.

On retrouve ce genre de problématique pour certains maniements de sécurité qui vous permettront de réussir brillamment mais très rarement, et qui en TPP ne sont pas forcément rentables.

Important : l'ordre des opérations.

Si l'on a deux chances à cumuler, le calcul donne un résultat dit commutatif = indépendant de l'ordre, on peut essayer A et si ça rate essayer B, ou commencer par B...

En pratique ce ne sera pas toujours le cas : il faut souvent commencer par tester une répartition avant de faire une impasse. Ceci pour ne pas donner la levée qui risque d'être celle de chute et que l'on aurait pu éviter si l'autre "chance" même faible, avait pu être exploitée !

Pourquoi cette différence avec la théorie ? Sans doute lorsque "si ça rate" n'a pas les mêmes conséquences pour les deux chances tentées. Imaginez que l'une des chances soit de jouer petit vers le Roi avec x x x en face de R x x. Si l'As est mal placé vous allez perdre plusieurs levées et chuter. C'est donc à tenter seulement si le reste n'a pas fonctionné.

Autre exemple, une impasse pourra être préférable à une autre parce qu'elle fait une sorte de mise en main de l'adversaire, ou pour cause de communications du déclarant.

Il faut donc essayer de faire le plan de jeu initial en tenant compte notamment des cumuls de chances, plutôt que d'en improviser un autre en cours de jeu après une mauvaise surprise. Ca fait partie des bonnes résolutions pour 2013.

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