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Dissymétrie

Hier au club, deux joueurs dont un de mes coéquipiers discutaient probabilités. Incroyable ! Je tends l'oreille...

"_ Si j'ouvre de 1SA, j'ai 15, 16, ou 17H. Donc une chance sur 3 de n'avoir que 15H.
_ Mais non, 15H est beaucoup plus probable que 16 ou 17, car on a très peu de chances de recevoir un gros jeu".

Je n'avais jamais pensé à ça. Ne connaissant pas les chiffres par coeur, j'ai répondu que oui, 15 est plus probable, mais que l'effet de rareté des points H ne se fait pas encore trop sentir dans cette zone de points... et j'ai donc promis de vérifier ce qu'il en est.

Sur la base des probabilités a priori de recevoir X points H (assez pénibles à calculer, mais supposées connues, voir tableau ci-dessous ; il faut calculer les probabilités des 525 cas possibles de détenir a As et r Rois et d Dames et v Valets, dont quelques cas impossibles quand a+r+d+v>13), on peut calculer facilement que :

La zone 15-17H a une probabilité de 10,09%, et sachant qu'on est dans cette zone, les probabilités respectives de 15, 16 et 17H sont environ 44%, 33%, 23%. Donc effectivement l'ouvreur de 1SA aura beaucoup plus souvent 15H que 17H, presque deux fois plus.

Cet effet de rareté s'accentue pour les jeux forts :

  • 18-19 : 2,6% de probabilité totale, répartis 61-39 entre 18 et 19 ;
  • 20-21 : 1,0% de probabilité totale, réparti 63-37 entre 20 et 21 ;
  • 22-23 : 0,32% de probabilité totale, réparti 65-35 entre 22 et 23.

Ceci vient du fait que la probabilité de recevoir un gros jeu varie très vite avec le nombre de points. Autour de 16H, chaque point H de plus "coûte" 30% de probabilité. Autour de 24H, 50%.

Ce calcul est approximatif, pour au moins deux raisons, qui intuitivement ne remettent pas trop en cause les conclusions :

  • les probabilités de points H sont calculées toutes distributions confondues. Il s'avère que les distributions régulières ont en moyenne un peu plus de points H (une petite fraction de point). Cela ne doit jouer que très peu sur les résultats car seules les distributions très rares sont concernées (par exemple le superunicolore 13-0-0-0 n'a que 10H).
  • il faudrait faire le calcul a posteriori en sachant que l'ouvreur a dit (par exemple) 1SA, et en connaissant votre nombre de points H. On peut supposer que les résultats ci-dessus sont valables si vous détenez à peu près le tiers des points restants, donc 8H en face de 1SA. Si vous avez plus, l'effet de rareté des grands nombres de points sera accentué, et donc le cas 15H sera encore au-dessus de 44%, et le cas 17H moins probable que 23%. A la limite, si vous avez 25H et que votre partenaire ouvre de 1SA (!!!) il a sûrement 15H.

Ceci peut être important... Si vous avez 16 ou 17H en face de 1SA, il faut en principe dire 4SA quantitatif. Mais sachez que l'ouvreur a beaucoup plus souvent 15H que 16H et 16H que 17H... Je vais essayer de faire le calcul, qui ne paraît pas facile.

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Probabilités des points H dans une main, sans information sur les 3 autres mains.

Le "par semaine" est sur la base de 80 donnes par semaine, et le "par an" sur la base de 40 semaines par an. Ce ne sont bien sûr que des ordres de grandeur. Proba+ est la probabilité d'avoir plus de ... points. On est assez sensible au fait de recevoir un jeu blanc, pourtant cela n'arrive qu'environ une fois par mois, environ la même fréquence qu'avoir plus de 21H.

ptsH une main