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Paradoxe

Voci un très joli paradoxe (affaire de goût, mais, des goûts et des couleurs...), qui n'a heureusement absolument RIEN A VOIR avec le bridge, mais je vous en fais profiter au cas où un amateur de probabilités s'aventurerait sur cette page... Je suis tombé là-dessus par hasard.

Le mathématicien français Joseph Bertrand a posé au XIXè siècle la question simple suivante. Sur un cercle, on trace au hasard des cordes (c'est-à-dire des petits segments qui coupent le cercle en deux points, comme les deux segments en noir sur le schéma de gauche).

Quelle est la probabilité que la longueur d'une corde soit plus grande que celle du côté d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle ?

Pour le cas où ces mots feraient peur, c'est plus clair sur le second schéma. Le triangle équilatéral est par exemple celui en bleu. Si le rayon du cercle vaut par convention 1, on se rappelle que le côté du triangle vaut racine carrée de 3, soit environ 1,732.

La longueur des cordes peut aller de 0 à 2. Dans le premier schéma, manifestement la petite corde est plus petite qu'un côté bleu, la grande est un peu plus grande. Quelle est la probabilité pour des cordes prises au hasard ?

Solution 1

Peu importe où la corde est positionnée, à une rotation près autour du centre du cercle. On peut choisir arbitrairement l'un des points sur la circonférence, plaçons-le à l'un des sommets du triangle bleu. Pour calculer la probabilité, on place au hasard l'autre extrémité sur le cercle. Le triangle bleu découpe le cercle en trois parties égales, trois arcs de cercle.

Si l'autre extrémité est dans les deux arcs proches de la première, la corde sera plus courte qu'un côté bleu. Ce n'est que si l'autre extrémité est sur l'arc le plus éloigné que la longueur sera plus grande. L'autre extrémité a une chance sur 3 d'être dans chacun des arcs. La réponse est donc 1/3.

Solution 2

Une corde est totalement définie par son centre (sauf cas très particulier où il s'agit d'un diamètre, ce qui a une probabilité nulle d'arriver si l'on prend des cordes au hasard). Pour que la corde soit plus longue qu'un côté bleu, il faut et il suffit que son centre soit suffisamment proche du centre, "suffisamment" correspondant au rayon du cercle vert sur le second schéma. Il est facile de calculer que ce rayon vaut 1/2.

Le centre d'une corde, point pris au hasard, n'a qu'une chance sur 4 de tomber à l'intérieur du cercle vert (c'est dans le rapport des surfaces du cercle vert et du cercle rouge, donc comme le carré des rayons). La réponse est donc 1/4.

Solution 3

Peu importe l'orientation de la corde, qu'elle soit horizontale, verticale, à 45 degrés ou à toute autre inclinaison. Toutes donneront la même probabilité. Intéressons-nous donc seulement par exemple aux cordes horizontales. Le centre d'une corde horizontale est forcément sur le diamètre vertical, et il est réparti au hasard sur ce diamètre vertical.

Pour que la corde soit plus longue qu'un côté bleu, il faut et il suffit que ce centre soit à l'intérieur du cercle vert, de rayon 1/2. Le centre étant sur le diamètre vertical a autant de chances d'être à l'intérieur qu'à l'extérieur du segment de longueur 1/2. La réponse est donc 1/2.

Qui a raison ?

La bonne réponse est-elle 1/3, 1/4 ou 1/2 ?

A votre avis ?...

En fait, personne n'a raison, ou tout le monde a raison : les trois raisonnements se tiennent car la question est mal posée, elle ne dit pas comment est fait le tirage au sort. Sur des ensembles infinis, ce type de paradoxe peut apparaître.

Solution 4

Une quatrième approche serait de dire que la corde a une longueur au hasard entre 0 et 2, la probabilité qu'elle soit plus longue que 1,732 vaut environ (2-1,732)/2 = 13,4%. Là on sent que c'est manifestement faux, les cordes très longues sont intuitivement plus probables.

Solution 5

Voici une méthode de tirage au hasard plus réaliste (brevetée MD) : au-dessus d'un cercle on laisse tomber une baguette (dont la longueur est au moins deux fois le diamètre du cercle). Si le centre de la baguette tombe en dehors du cercle, il y a maldonne, on recommence. Sinon la baguette coupe le cercle en deux points et on on s'intéresse à la probabilité que la corde soit plus longue que racine(3).

Eh bien, avec ce mode tirage, la probabilité vaut : racine(3)/(2.pi) + 1/3 = environ 60,9%, très différent des "solutions" proposées par Bertrand.

Un autre exemple

Beaucoup moins "piégeux" que le paradoxe de Bertrand. Ecrivons les nombres entiers positifs dans un grand livre, un par ligne. Au lieu de les écrire "normalement" 1, 2, 3, 4... je choisis de les écrire ainsi :

1, 3, 2, 5, 7, 4, 9, 11, 6, 13, 15, 8 etc.

Plus généralement, deux nombres impairs, un nombre pair et ainsi de suite. Tous les nombres seront écrits, si le livre est assez grand.

Si maintenant quelqu'un tire au sort une page et une ligne dans le livre, il tombera deux fois plus souvent sur un nombre impair que sur un nombre pair. La probabilité qu'un nombre entier soit impair est donc 2/3.

Ouf ! Cela ne peut pas arriver au bridge !

Car le nombre de donnes est fini, même s'il est gigantesque. Les probabilités sont alors bien définies, comme le nombre de cas favorables par rapport au nombre de cas possibles. La façon de tirer au sort est sans ambiguïté, et seule la difficile notion de "probabilité a posteriori", longuement présentée sur ce site, peut conduire à des pièges.

Fin de la récréation, reprenez vos cartes.

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