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Duplicate et probabilités

Voici une page où l'on va reparler de probabilités, mais dans un domaine très différent des répartitions et des maniements de couleur : celui des enchères en duplicate.

Un autre article "assurer un de chute ?" traite de situations, en duplicate ou en tournoi par paires, qui peuvent se produire au jeu de la carte, faut-il assurer un de chute ou tenter de réussir son contrat avec une stratégie risquée qui conduira souvent à deux de chute.

 

On tente ici de justifier mathématiquement quelques principes comme « en duplicate, il ne faut pas empailler une manche, surtout vulnérable ».

... Et quelques autres situations classiques aux enchères.


Plus généralement, sur la base d’une probabilité de succès d’une stratégie (p de 0 à 100%), p étant estimé d’après sa main et les annonces du partenaire et des adversaires, avec quelle probabilité (ici appelée t comme tenter) faut-il la tenter ? Il pourra s’agir d’une manche, un chelem, un contre punitif, une surenchère… Dans tous ces exemples, t ne vaudra que 0 ou 1 : on "tente" ou on "ne tente pas" en fonction de la probabilité p estimée, par rapport à un seuil de décision. Quel est ce seuil au-delà duquel il faut tenter, et en-deça duquel il vaut mieux s'abstenir ?

La limite de l’exercice, et elle est de taille, c’est que p est une estimation, plutôt qualitative. Rien à voir avec les probabilités de trouver les cartes du flanc réparties 2-2 ou 3-1, que l’on peut calculer avec beaucoup de décimales… Ici on pense d’après son jeu et les annonces que la manche peut y être, devrait y être, y est presque sûrement… Difficile de mettre des chiffres là-dessus !

A cela près, c’est un problème classique en « théorie des jeux » et on va calculer le t optimal en fonction de p et des enjeux, c’est-à-dire le nombre de points de match suivant les différences de score. Il existe des situations en théorie des jeux où les stratégies doivent être probabilistes, l'exemple classique étant le jeu "pierre-feuille-ciseaux" où il faut choisir au hasard, c'est ce qu'on appelle des équilibres mixtes. En duplicate la question se limite à choisir t=1 (par exemple mettre la manche) ou t=0 (par exemple rester sur une partielle). "Mettre ou ne pas mettre", comme disait l'autre...

Et bien sûr, comme c’est un duplicate… il faut tenir compte de deux tables, et supposer que les adversaires se poseront les mêmes questions ! Le barème des points de match (IMP) et leur mode d'emploi en fonction de la différence des scores aux deux tables sont donnés en bas de page.

Exemple : une manche 4C ou 4P vulnérable. On suppose qu'elle gagne juste fait avec une probabilité p et donc chute d'une levée avec la probabilité 1-p. Supposons dans un premier temps que les deux tables vont jouer de la même façon : il y aura 10 levées aux deux tables, ou bien 9 aux deux tables.

Il y a donc seulement 8 cas possibles (et pas les 16 au départ qui étaient la combinaison de 4 cas à chaque table, tenter ou pas, réussir ou pas) : 4 cas appelés "payés" en jargon duplicate où le score sera le même aux deux tables car la stratégie et la réalisation ont été les mêmes, et 4 cas qui rapportent ou coûtent des IMP car les deux tables ont fait des choix différents. Il ne subsiste que deux nombres et leurs opposés, exemple :

  • je demande (t=1) une manche qui gagne, les autres l'ont "empaillée" (t'=0) : 620-170 = 450, donc 10 IMP (pour nous),
  • je demande (t=1) une manche qui chute, les autres se sont sagement arrêtés à 3 (t'=0) : -100-140 = -240, donc -6 IMP (-6 pour nous signifiant 6 pour eux),
  • et les cas symétriques où l'autre table demande (t'=1) et pas nous (t=0) une manche qui gagne : -10
  • ... ou qui chute : 6

Il n'y a plus qu'à pondérer les 10, -6, -10 et 6 par les probabilités p ou 1-p (faire 10 ou 9 levées), et l'on aboutit à un résultat très simple pour le nombre d'IMP gagnés en moyenne par "nous" : (t-t')(16p-6).

Nous avons donc intérêt à demander la manche (t=1) dès que 16p-6 est positif, donc p > 37,5%. Et pas 50%... L'exemple n'a pas été choisi au hasard, il donne un résultat sensiblement différent de 50%. D'ailleurs si la probabilité est de 50%, et si vous jouez la prudence (t=0) et l'adversaire tente la manche (t'=1), vous voyez que vous perdez 2 IMP en moyenne (vous marquez -10 à 50% quand ça gagne et +6 à 50% quand ça chute). L'adversaire doit adopter exactement la même stratégie : t'=1 dès qu'il estime p supérieur à 37,5%.

Plus généralement si, lorsqu’on "tente" et l’autre équipe ne tente pas, on marque A IMP quand ça gagne et ‑B quand ça chute, il faut tenter lorsque la probabilité de succès est supérieure à B / (A+B).

Résultats dans quelques cas typiques (sauf indication, les conclusions sont les mêmes que la manche ou le chelem soit à SA, P, C, K ou T). Dans ce calcul, quand le grand chelem chute, c’est d’une levée, donc le petit est à 100%. Quand le petit chelem chute, il y a onze levées.

Situation

A et -B

Proba de basculement

Manche vulnérable

10 et -6

37%

Manche non vulnérable

6 et -5

45%

Petit Chelem vulnérable

13 et -13 (13 et -12 à TK)

50% (48% à TK)

Petit Chelem non vulnérable

11 et -11 (11 et -10 à TK)

50% (48% à TK)

Grand Chelem vulnérable

13 et -17 (13 et -16 à TK)

57% (55% à TK)

Grand Chelem non vulnérable

11 et -14

56%

Donc :

  • il faut être particulièrement agressif pour les manches vulnérables, les demander à partir de 37% de chances seulement.
  • Les petits chelems se demandent à une chance sur deux, typiquement un as et un roi dehors (d’une autre couleur !).
  • Les grands chelems se demandent à mieux qu’une chance sur deux, donc avec tous les as ou chicanes, tous les rois ou singletons, et avec la dame d’atout de préférence, sinon il faut 10 atouts pour être à peu près sûr, 89%, de la cueillir contre seulement 58% avec 9 cartes sans la dame, ce qui consommerait pratiquement toute la probabilité autorisée et nécessiterait donc 100% dans les 3 autres couleurs.

On peut faire les mêmes calculs par exemple dans le cas d’un contre punitif, au niveau d’une partielle où le contre donne la manche, et au niveau du contre d'une manche. Ici il y a une sorte d’inversion des hypothèses puisqu’on raisonne en défense : A est le nombre d’IMP marqués par nous, la défense, en cas de succès = lorsque cela chute (on a eu raison de contrer), ‑B lorsque cela gagne (on a refilé la manche). On retrouve des résultats connus, à savoir que :

  • le contre d’une partielle est très dangereux, il faut être presque sûr de la chute (80% environ) car il y a peu à gagner mais beaucoup à perdre ;
  • celui d’une manche est à peine moins dangereux mais peu productif, vous avez plus à perdre qu'à gagner si la levée de chute est à une chance sur deux, surtout si l'adversaire est non vulnérable. Pour un chelem les % sont un peu plus élevés, 0,71 à 0,75 NV et 0,62 à 0,67 V.

Situation, pour 1 levée de chute

A et -B

Proba de basculement

Contre de 2ou3CP, 2SA, 3ou4TK non vuln

2 et -8 à 2CP et 3TK
(2 et -9 à 2SA, 3CP, 4TK)

80%
(82%)

Contre de 2ou3CP, 2SA, 3ou4TK vuln

3 et -11

79%

Contre de manche non vulnérable

2 et -5 à 4CP, 2 et -4 à 5TK et 3SA

env 70% : 71% à CP, 67% à TK et SA

Contre de manche vulnérable

3 et -5 à 4CP, 3 et -4 à 5TK et 3SA

env 60% : 62% à CP, 57% à TK et SA

Bien sûr, si le pronostic de chute est de deux levées, l'enjeu est bien plus élevé et la probabilité de basculement va baisser. Mais peut-on alors penser que le même contrat sera demandé aux deux tables ?...

Ces tableaux ont nécessité des hypothèses simplificatrices :

a)       les deux équipes sont de même force au bridge et au calcul des probabilités et adopteront sur une donne la même stratégie : la même décision en fonction de p. Cela ne veut pas dire qu’elles feront forcément à chaque fois le même choix car la probabilité étant qualitative, les joueurs peuvent avoir des estimations différentes (sauf si p est très proche de 0% ou de 100%).

b)       Dans les exemples, l’alternative se place au niveau qui fait la différence : manche ou pas, chelem ou pas, petit ou grand, défense contre une manche quasi-certaine, contre ou pas d’un contrat douteux…

c)       Les contrats sont tangents, il n’y a que deux résultats possibles : par exemple si l’on tente la manche, il y aura égal ou un de chute, et dans le premier tableau il n’y aura pas de contre. S'il s'agit d'un grand chelem, il y a 12 ou 13 levées.

d)       Le fait que l’on ait demandé ou pas ne change pas la façon de jouer du déclarant ni de la défense ; c’est encore une hypothèse simplificatrice (alors que par exemple si on joue 4 il peut y avoir des maniements de sécurité que l’on ne pourra se permettre si l’on joue 6).

e)       Si un contrat gagne ou chute à une table, ce sera identique à l'autre table. On fait donc l'hypothèse d'une corrélation totale du jeu de la carte aux deux tables, et seul le hasard de la distribution des cartes fait que le contrat gagne ou chute. Cette hypothèse est remise en cause dans le paragraphe suivant.

Variante : indépendance du jeu de la carte.

C'est l'hypothèse inverse du (e), qui peut parfois être justifiée. Par exemple, votre contrat nécessite la coopération d'une dame, l'impasse pouvant être faite contre un côté ou l'autre, sans information particulière (vous avez A V 8 7 en face de R 10 9 6). La probabilité de succès est d'environ 50% mais le contrat pourra gagner à une table et chuter à l'autre suivant le sens choisi par les déclarants, choix que l'on suppose ici aléatoire à chaque table.

La "matrice des gains" se limitait à 4 termes non nuls dans le cas précédent (10 et -10, 6 et -6 pour un 4P vulnérable). Il peut maintenant y en avoir 12... En effet les couples de résultats suivants apparaissent :
12 et -12 (620 à une table, -100 à l'autre),
10 et -10 (620 et 140, mais ce sont des cas différents de 620 et 170 bien que donnant le même nombre d'IMP),
7 et -7 (170 et -100)
1 et -1 (170 et 140).

Les deux couples mis en italique sont sans intérêt, car ils correspondent à la même stratégie aux deux tables. Ils ne peuvent donc influer sur le choix de la stratégie. Mais les deux autres couples peuvent intervenir sur les probabilités de basculement : l'espérance de gain n'est plus linéaire avec la probabilité mais comporte un petit terme quadratique qui va déplacer un peu la probabilité de basculement. Dans de nombreux cas, les valeurs des termes utiles sont telles que ce terme quadratique n'existe pas, donc l'hypothèse corrélation-indépendance ne change rien.

Les calculs sont un peu plus complexes, car ils font intervenir désormais deux fois plus de termes. Sans les présenter ici, voici les conclusions :

  • pour un chelem, rien de changé, le tableau précédent s'applique,
  • pour 4C ou 4P vulnérable, la probabilité de basculement passe de 37,5% à 39% (rien ne change à SA ou en mineure),
  • inversement pour 3SA, 5T ou 5K non vulnérable, elle diminue de 2% (rien ne change en majeure),
  • pour des contres de partielles, elle peut diminuer de 2 à 3%,
  • pour des contres de manches, elle peut diminuer de 5 à 6% mais les enjeux en IMP sont faibles si on se trompe de stratégie.

En conclusion, l'hypothèse d'indépendance ne change pas de manière significative les conclusions. Rappelons que la probabilité p de succès de la stratégie n'est jamais définie avec précision tant que l'on est dans la phase des enchères, car vous ne connaissez qu'un jeu. Ce ne sont pas 2 ou même 5% sur p qui vont changer.

Variante 2 :

Cette seconde variante complique un peu plus les calculs pour supposer que le contrat n'a pas les mêmes chances de succès aux deux tables, quand les équipes sont de force différente. Les probabilités p et p' sont différentes, avec une sophistication supplémentaire paraissant plus conforme à la réalité : lorsque ça chute à la table où p est le plus grand, cela chute forcément à l'autre table ; quand ça gagne à la table où p est le plus grand, cela peut gagner (avec une probabilité conditionnelle c') à l'autre table.

Cette fois, tous les termes de la matrice des gains entrent en jeu (12 termes non nuls, il y a toujours les 4 termes nuls quand la stratégie et le succès sont identiques aux deux tables).

Insistons sur le fait que si l'on sait que l'on joue contre des timides, empailleurs professionnels, ou inversement contre des kamikazes qui n'hésitent pas à planter une manche ou un chelem plus que tendu, il ne faut pas changer sa stratégie, c'est la base même du calcul de théorie des jeux ayant abouti aux tableaux du début. Les probabilités vous feront gagner quelques IMP, en moyenne bien sûr.

En ce qui concerne cette variante 2 qui ne concerne que le jeu de la carte, les conclusions ne sont pas très marquées. Après une analyse plus fine des cas "manche vulnérable" et "petit chelem non vulnérable", même avec une probabilité conditionnelle de 50% (si le contrat gagne à une table, il ne gagne qu'une fois sur deux à l'autre, ce qui paraît peu réaliste dans une compétition homogène), les conclusions ne sont pas bouleversées.

  • les joueurs les plus forts ne doivent pas prendre de risques supplémentaires, pas de changement de la probabilité de basculement,
  • les plus faibles devraient prendre un peu moins de risques, mais cela se complique car cela dépend par rapport à qui on raisonne ! Par exemple dans le cas du petit chelem que les forts demanderont toujours à 50% (le calcul donne 1% d'augmentation), les faibles devraient le demander avec une probabilité de succès de 37% lorsque ce sont eux qui jouent, donc de 74% si c'étaient les forts qui jouaient.

C'est un peu complexe et probablement sans trop d'intérêt pratique. On devrait pouvoir rester dans la logique du début et une probabilité de basculement uniquement définie par B / (A+B)

Et avec 3 ou 4 stratégies possibles ?

Juste pour le fun... Jusqu'ici il n'y avait que des décisions binaires : manche ou partielle, manche ou chelem, contre ou pas.

Mais, surtout en situation compétitive, on peut rencontrer des alternatives avec plus de deux branches : je laisse jouer 4C, ou je les contre, ou je mets 4P en défense, avec le risque qu'ils soient contrés. Il y a donc ici 4 "stratégies", la quatrième dépendant en fait d'une décision adverse.

Il faudrait assortir cela de deux probabilités, celles du contrat à 4C et celle du 4P, et ce serait même un peu plus compliqué car il peut y avoir plusieurs levées de chute. La piste de la matrice des gains aboutirait sans doute à quelque chose de monstrueux, et une tout autre approche a été développée : les lois des levées totales, ou lois de Vernes. Mais c'est une autre histoire...

Annexe - Barème et rappel du calcul des IMP (International Match Point)

On commence par calculer le nombre de points marqués par "nous" aux deux tables et on le convertit en IMP avec la table suivante. Attention à ajouter ou soustraire suivant les cas. Par exemple si nous avons demandé et réussi 4P (620 pour nous) et que nos adversaires ont oublié de les demander (170 pour eux), nous marquons 620-170=450 qui nous donnent 10 IMP. Si nous chutons de 100 et qu'à l'autre table les adversaires marquent 140, cela nous fait -100-140 = -240, donc -6 IMP pour nous. En fait là ce sont les adversaires qui marquent +6 mais cela revient au même, car à la fin seule compte la différence du total des IMP gagnés par eux et nous pendant le match.

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